以360作为例子

lusishun

1～360，其中素的个数，
1，无法用精确的公式表达出来。
2，其中2，3，5，7，11，13，17，的倍数含量分别是360/2，360/3，360/5，360/7，360/11，360/13，360/17，

lusishun

（接续）
3，要是去掉2，3，5，7，11，13，17的倍数，及1，剩下的就是素数，当然，这7个素数还要加回来。

yangchuanju

A000720
pi(n), the number of primes <= n.
小于等于n的素数个数
1 0
2 1
3 2
4 2
5 3
6 3
7 4
8 4
9 4
10 4
11 5
12 5
13 6
14 6
15 6
16 6
17 7
18 7
19 8
20 8
21 8
22 8
23 9
24 9
25 9
26 9
27 9
28 9
29 10
30 10
31 11
32 11
33 11
34 11
35 11
36 11
37 12
38 12
39 12
40 12
41 13
42 13
43 14
44 14
45 14
46 14
47 15
48 15
49 15
50 15
51 15
52 15
53 16
54 16
55 16
56 16
57 16
58 16
59 17
60 17
61 18
62 18
63 18
64 18
65 18
66 18
67 19
68 19
69 19
70 19
71 20
72 20
73 21
74 21
75 21
76 21
77 21
78 21
79 22
80 22
81 22
82 22
83 23
84 23
85 23
86 23
87 23
88 23
89 24
90 24
91 24
92 24
93 24
94 24
95 24
96 24
97 25
98 25
99 25
100 25
101 26
102 26
103 27
104 27
105 27
106 27
107 28
108 28
109 29
110 29
111 29
112 29
113 30
114 30
115 30
116 30
117 30
118 30
119 30
120 30
121 30
122 30
123 30
124 30
125 30
126 30
127 31
128 31
129 31
130 31
131 32
132 32
133 32
134 32
135 32
136 32
137 33
138 33
139 34
140 34
141 34
142 34
143 34
144 34
145 34
146 34
147 34
148 34
149 35
150 35
151 36
152 36
153 36
154 36
155 36
156 36
157 37
158 37
159 37
160 37
161 37
162 37
163 38
164 38
165 38
166 38
167 39
168 39
169 39
170 39
171 39
172 39
173 40
174 40
175 40
176 40
177 40
178 40
179 41
180 41
181 42
182 42
183 42
184 42
185 42
186 42
187 42
188 42
189 42
190 42
191 43
192 43
193 44
194 44
195 44
196 44
197 45
198 45
199 46
200 46
201 46
202 46
203 46
204 46
205 46
206 46
207 46
208 46
209 46
210 46
211 47
212 47
213 47
214 47
215 47
216 47
217 47
218 47
219 47
220 47
221 47
222 47
223 48
224 48
225 48
226 48
227 49
228 49
229 50
230 50
231 50
232 50
233 51
234 51
235 51
236 51
237 51
238 51
239 52
240 52
241 53
242 53
243 53
244 53
245 53
246 53
247 53
248 53
249 53
250 53
251 54
252 54
253 54
254 54
255 54
256 54
257 55
258 55
259 55
260 55
261 55
262 55
263 56
264 56
265 56
266 56
267 56
268 56
269 57
270 57
271 58
272 58
273 58
274 58
275 58
276 58
277 59
278 59
279 59
280 59
281 60
282 60
283 61
284 61
285 61
286 61
287 61
288 61
289 61
290 61
291 61
292 61
293 62
294 62
295 62
296 62
297 62
298 62
299 62
300 62
301 62
302 62
303 62
304 62
305 62
306 62
307 63
308 63
309 63
310 63
311 64
312 64
313 65
314 65
315 65
316 65
317 66
318 66
319 66
320 66
321 66
322 66
323 66
324 66
325 66
326 66
327 66
328 66
329 66
330 66
331 67
332 67
333 67
334 67
335 67
336 67
337 68
338 68
339 68
340 68
341 68
342 68
343 68
344 68
345 68
346 68
347 69
348 69
349 70
350 70
351 70
352 70
353 71
354 71
355 71
356 71
357 71
358 71
359 72
360 72

yangchuanju

素数的精确公式
下面是王元给出的简化的容斥公式：
π(N)＝( r-1) +{N-∑[N/pi]+∑[N/pipj]-∑[N/pipjpk]+…+(-1)^r*[N/p1p2…pr]}
(第一个∑：1≤i≤r。第二个∑：1≤i＜j≤r。第三个∑：1≤i＜j＜k≤r。)

yangchuanju

用此式子
π(N)＝( r-1) +{N-∑[N/pi]+∑[N/pipj]-∑[N/pipjpk]+…+(-1)^r*[N/p1p2…pr]}
可以求出
π(1000)=168
π(10000)=1229
π(100000)=9592
π(1000000)=78498

yangchuanju

yangchuanju

笔者无本事，不会计算素数个数；
以上4楼全是剽窃的别人的，分别是OEIS、童信平、大傻、朱明君的，
发表前未得到各位的许可，敬请谅解！

鲁大师如有疑惑，可直接向各位老师咨询！

cuikun-186

yangchuanju 发表于 2023-11-3 10:04
用此式子
π(N)＝( r-1) +{N-∑[N/pi]+∑[N/pipj]-∑[N/pipjpk]+…+(-1)^r*[N/p1p2…pr]}
可以求出

杨老师您好，我的一位老师结合我的公式给出了：

π(N)～2 π(N^2）/N

劳驾您帮忙给出验证数据，

非常感谢您

yangchuanju

cuikun-186 发表于 2023-11-3 13:40
杨老师您好，我的一位老师结合我的公式给出了：

π(N)～2 π(N^2）/N

由π(N^2）求π(N)无数学价值，因为π(N)已相当难求，π(N^2)则是“狗吃太阳——无从下口”！

倒过来，由π(N)求π(N^2）则是合情合理的。
按照素数定理，π(N)=N/ln(N)，
π(N^2）=N^2/ln(N^2)=N^2/2/ln(N)=[N/ln(N)]*N/2=N/2*π(N)
由于素数定理式给出的素数个数是近似值，故按N/2*π(N)式计算的π(N^2）也是近似值，将等号改成相当于号“～”即可！

无需用具体数值验证！

lusishun

小于n的素数个数的精确公式是不存在的，大家不只是否赞同。