求椭球面 x^2/2+y^2/4+z^2/3=1 与平面 x+y=2z 的交线到原点的距离的最大值与最小值

dodonaomikiki

上海师范研究生题目  请看题目啊

波斯猫猫

题：求椭球面 x^2/2+y^2/4+z^2/3=1 与平面 x+y=2z 的交线到原点的距离的最大值与最小值。

思路：设椭球面的参数方程为x=√2cosαsinβ，y=2sinαsinβ，z=√3cosβ，且P（a，b，c）

是椭球面 x^2/2+y^2/4+z^2/3=1 与平面 x+y=2z 的交线上的点，

则12OP^2=6a^2+3b^2+4c^2(代错了，正确的见下面)=6a^2+3b^2+(a+b)^2=7a^2+4b^2+2ab

=14(sinαsinβ)^2+16(sinαsinβ)^2+2√2sin(2α)(sinβ)^2=12(sinβ)^2[1+cot(β)^2]=12。

故，OP=1（如果没算错，其交线上各点到原点的距离都为1）。

dodonaomikiki

14(sinαsinβ)^2+16(sinαsinβ)^2+2√2sin(2α)(sinβ)^2=12(sinβ)^2[1+cot(β)^2]=12


我到这一步怎么搞的，
就有点蒙蔽啦！
我的计算:

\begin{align*}

14(sinαsinβ)^2+16(sinαsinβ)^2+2√2sin(2α)(sinβ)^2\\
&=（30sin^2\alpha+    2\sqrt{2}sin2\alpha      ）\bullet    sin^2\beta\\
&=？接下来，不晓得怎么搞啦\\

\end{align*}

dodonaomikiki

立体图形，确实需要强悍想象力！
不易不易

dodonaomikiki

MUQIAN目前，仅仅直观的看，
x,y,z正向端点，
可以比较直观的标识出来

波斯猫猫

题：求椭球面 x^2/2+y^2/4+z^2/3=1 与平面 x+y=2z 的交线到原点的距离的最大值与最小值。

思路：设椭球面的参数方程为x=√2cosαsinβ，y=2sinαsinβ，z=√3cosβ，且P（a，b，c）

是椭球面 x^2/2+y^2/4+z^2/3=1 与平面 x+y=2z 的交线上的点，

则a=√2cosαsinβ，b=2sinαsinβ，c=√3cosβ，且√2cosαsinβ+2sinαsinβ=2√3cosβ。

则OP^2= a^2+b^2+c^2=3-12cos2α/(15-cos2α+2√2sin2α)。

令其导数为零，解得sin2α=-2√2/15，cos2α=±√217/15。

故，(53-√217)/18≤OP^2≤(53+√217)/18，即√[(53-√217)/18]≤OP≤√[(53+√217)/18]。

注：2楼代入OP^2时犯了一个极其低级错误。

luyuanhong