悬赏 500 美元的简单几何题

luyuanhong

悬赏 500 美元的简单几何题

原创 Asher 爱数学之家 2023-12-16 08:39 发表于广东

本文要介绍并非是什么世界 7 大难题， 而是一个中学生都能看懂并尝试解决的平面几何题。

问题描述

若平面上有 n 个点, 我们可以构造出 n(n-1)/2 条线段。例如，n = 3 时， 三个点可以两两构造出 3 条线段；n = 4 时，4 个点可以两两构造出 6 条线段。现在问题是：怎么设计这 n 个点，使得我们构造的 n(n-1)/2 条线段中，有 n-1 条线段的长度相同，有 n-2 条线段的长度相同……直到有 2 条线段的长度相同，有 1 条线段的长度与其他的都不相同。

例如，若 n = 3 时，3 条线段，我们只需构造出等腰三角形，就可以有 2 条线段长度相同，有 1 条线段长度与其他的都不相同。

若 n = 4 时，我们可以构造出下图中的图案，ABC 为等边三角形，点 D 在 AC 的中垂线上，BD 不等于 AD 。则可以看到 AB = AC = BC ，有 3 条线段相同；AD = CD ，有 2 条线段相同，BD 与其他的线段长度都不相同。



若 n = 5 ，有 10 条线段，我们可以构造出下图中的图案：ABC 是等边三角形，O 是 ABC 的外心，OA = OB = OC ，另外点 D 是 OC 的中垂线与圆 B 的交点，圆 B 是 B 为中心、BC 为半径的圆；可以看到 AB = AC = BC = BD ，有 4 条线段相同，OA = OB = OC ，有 3 条线段相同，OD = CD ，有 2 条线段相同，AD 与其他线段长度都不相同。



悬赏问题

对于这个问题，当 n≤8 时，都有了肯定的答案，但是对于 n = 9，10，…，答案还未知，下面是数学家埃尔德什悬赏的问题：

50 美金问题：证明 n 在某个数时，问题无解；

500 美金问题：证明所有的 n 都有解，并给出通用的构造方法。

王守恩

陆老师!  请补充整理,  并配个图(我就喜欢陆老师的图)。谢谢！

圆内接n边形,  n-1条边长度相同,  1条稍短。则:
"1"有n-1条，
"2"有n-2条，
"3"有n-3条，
"4"有n-4条，
......
"n-4"有4条，
"n-3"有3条，
"n-2"有2条，
"稍短"有1条。

"k"表示连续k条相同边对应的弦长。

王守恩

陆老师!  请补充整理,  并配个图(我就喜欢陆老师的图)。谢谢！譬如: n=9,

圆内接9边形(顶点1,2,3,4,5,6,7,8,9), 8条边长度相同(21,32,43,54,65,76,87,98), 1条稍短(91)。则:

"1"有8条=21,32,43,54,65,76,87,98，
"2"有7条=31,42,53,64,75,86,97，
"3"有6条=41,52,63,74,85,96,
"4"有5条=51,62,73,84,95,
"5"有4条=61,72,83,94,
"6"有3条=71,82,93,
"7"有2条=81,92,
"稍短1条=91。

Ysu2008

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先说结论：所有的 \(n\) 都有解。

通用构造方法：


证明：
(1)、圆心点1与圆周上\(n-1\)个点的连接线段相等，共计\(n-1\)条；

(2)、圆周上\(n-1\)个点，相邻（即间隔0个点）的点对恰有 \(n-2\) 对，它们每一对连接成的线段，作为弦长所对的圆心角都等于\(\theta\)，这\(n-2\)条线段长度相等；

圆周上间隔1个点的点对恰有 \(n-3\) 对，它们每一对连接成的线段，作为弦长所对的圆心角都等于\(2\theta\)，这\(n-3\)条线段长度相等；

... ...

圆周上间隔\(n-4\)个点的点对恰有 2 对，它们每一对连接成的线段，作为弦长所对的圆心角都等于\(\left( n-3\right)\theta\)，这 2 条线段长度相等；

圆周上间隔\(n-3\)个点的点对恰有 1 对，连接成的线段，作为弦长所对的圆心角等于\(\left( n-2\right)\theta\)，这 1 条线段长度与其他所有线段都不相等；

总之就是：圆心角相等，弦长必相等；圆心角不相等，弦长必不相等。

(3)、记\(a_m\)为圆周上间隔\(m-1\)个点的弦长，根据余弦定理，弦长 \(a_m\)与半径\(r\)有关系：

\(a_m=r\sqrt{2-2\cos m\theta}\)，\(m=1{,}2{,}3{,}...{,}n-2\)

要使得半径\(r\)与所有弦长都不相等，只须适当选取\(\theta\)，使得\(2-2\cos m\theta\ne1\)成立即可，即

\(\cos m\theta\ne\frac{1}{2}\)
\(m\theta\ne60^{\circ}\)

这显然可以做到。比如将圆周上\(n-1\)个点在\(60^{\circ}\)内完成等分，即使得最大圆心角\(\left( n-2\right)\theta<60^{\circ}\)即可。

——证明完成。

附：\(n=9\)时的构型

Ysu2008

每一个构型都对应着一个关系矩阵，但反过来不成立。

\(n=4\)的异构型与关系矩阵：


\(n=4\)的标准构型与关系矩阵：


从异构型的角度去考虑，没有规律，不好把握，感觉就很复杂。

题目不复杂，是思虑太多，想复杂了。复杂的是人心。

Ysu2008

上面的证明似乎不够严谨，再补充一个。

通用作图法：


证明：

以下，记号\(P_i\sim P_j\)表示以\(P_i{,}P_j\)为端点的线段；\(P_i\)为左端点，\(P_j\)为右端点。

(1) 如图，\(P_1\)到圆周上各点的线段依次为

\(P_1\sim P_2{,}P_1\sim P_3{,}......{,}P_1\sim P_n\)

以右端点下标\(j\)可计算出总共有\(n-2+1=n-1\)条线段，它们长度都等于半径\(r\) ；

(2) 圆周上，间隔 0 个点，即\(j-i-1=0\)的线段依次为

\(P_2\sim P_3\ {,}\ P_3\sim P_4\ {,}\ ...\ ...\ {,}\ P_{n-1}\sim P_n\)

以右端点下标\(j\)可计算出总共有\(n-3+1=n-2\)条线段，它们作为弦长所对圆心角都等于\(\theta\)，长度相等；

间隔 1 个点，即\(j-i-1=1\)的线段依次为

\(P_2\sim P_4\ {,}\ P_3\sim P_5\ {,}\ ...\ ...\ {,}\ P_{n-2}\sim P_n\)
以右端点下标\(j\)可计算出总共有\(n-4+1=n-3\)条线段，它们作为弦长所对圆心角都等于\(2\theta\)，长度相等；

... ...

间隔 \(n-4\) 个点，即\(j-i-1=n-4\)的线段依次为

\(P_2\sim P_{n-1}\ {,}\ P_3\sim P_n\)

总计2 条线段，作为弦长所对圆心角都等于\(\left( n-3\right)\theta\)，长度相等；

间隔 \(n-3\) 个点，即\(j-i-1=n-3\)的线段只有 \(P_2\sim P_n\) 1条，所对圆心角最大，长度与其他线段都不相等；

(3) 要使得半径\(r\)与所有其他线段都不相等，只须适当选择\(\theta\)，确保 \(m\theta=60^{\circ}\)，\(m=1{,}2{,}\ ...\ ...\ {,}\ n-2\)无正整数解即可.

——证明完毕。

Ysu2008

第二种通用构造法，这种作法证明更简单，还不用啰嗦成三段。

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答很好！已收藏（可惜不知道到哪里可以去领奖）。