已知 a/(1+a+ab+abc)+b/(1+b+bc+bcd)+c/(1+c+cd+cda)+d/(1+d+da+dab)=1，求证：abcd=1

kanyikan

网上的一道代数题

已知a/(1+a+ab+abc)+b/(1+b+bc+bcd)+c/(1+c+cd+cda)+d/(1+d+da+dab)=1

求证：abcd=1。

lihp2020

标准流程 换元法  计1+a+ab+abc =S  1+b+bc+bcd =Q   。。。。 abcd=S

方程变成 a/S +b/Q++=1 通分  再左移右移两边同时乘以 S  再化简 可以得到 (S-1）^K * @@@=0
证明@@@ ！=0 就是 S=1  也可能  当@@@=0是 也能得到S=1

cgl_74

这是个错题！结论为假！
所以我很好奇，网上给出的证明到底是啥？

Ysu2008

题目没问题，把条件输入 wolframalpha ，它直接给出了答案，但要看中间步骤，要$ .



我试了一下暴力求解，将四项强行暴力通分，展开合并后，分子有 74 项，分母有 82 项；分母移到右边，消同类项，得到一个左边还有 19 项，右边还有 21 项的等式：



然后，我就放弃了。

Ysu2008

从结论到条件倒是好证，第 2 项分子分母同乘\(a\)，第 3 项分子分母同乘\(ab\)，第 4 项分子分母同乘\(abc\) :

\(\frac{a}{1+a+ab+abc}+\frac{ab}{a+ab+abc+abcd}+\frac{abc}{ab+abc+abcd+a^2bcd}+\frac{abcd}{abc+abcd+a^2bcd+a^2b^2cd}\)

将 \(abcd=1\) 代入上式立马就得到 1 .

从条件到结论就难搞了，需要花式解法。

cgl_74

还有会证明的吗？不管是计算机证明的，还是手工证明的。
用mathematic能证明吗？

Ysu2008

机器的解法就是暴力求解，强行通分，展开合并消项，把所有项移到一边，看作是关于未知数\(d\)的三次方程，套求根公式求解。

wolframalpha 给了\(d\)的三个根：

cgl_74

Ysu2008 发表于 2023-12-23 07:40
机器的解法就是暴力求解，强行通分，展开合并消项，把所有项移到一边，看作是关于未知数\(d\)的三次方程， ...

问下：为啥4楼与7楼的解答不一样呢？你用的都是wolframalpha这个软件吧。

波斯猫猫

当a＝b＝c＝d＝√2-1时满足条件，但abcd≠1。

Ysu2008

cgl_74 发表于 2023-12-23 22:06
问下：为啥4楼与7楼的解答不一样呢？你用的都是wolframalpha这个软件吧。

一样的啊，4楼只贴了一个根。