【资料】垂足三角形系列~~~~~~5， 需要证明\(OG =\frac{ BH}{2} \)

dodonaomikiki

锐角三角形ABC
H作为垂心
O作为外接圆（ABC）之圆心，且 \(OG    \perp  AC\)

请证明：
\(OG   =\frac{   BH}{2}  \)

天山草

H 是 △ABC 的垂心，AD、BE、CF 为高线。O 是△ABC 的外心， G 是 AC 的中点，证明 : OG = BH/2。

天山草

此题用纯几何方法做也很简单：


如上图，作直径 CN，连接 AN、BN，则 AN=2 OG，由于 AH 和 NB 都垂直于 BC，所以 AH//NB。由于 BH 和 NA 都垂直于 AC，所以 BH//NA。于是 AHBN 是平行四边形。从而 BH=AN。
故 BH=2 OG。

天山草

以下摘自【几何瑰宝】上册第125页。
这个结论叫塞尔瓦定理： 三角形任意一个顶点到垂心的距离，等于外心到它的对边的距离的 2 倍。
该定理是法国数学家塞尔瓦（F.J.Servois，1767-1847）于 1804年发现的。另一位法国数学家卡诺（L.N.M.Carnot，1753-1823）于 1810 年也发现了此定理。因而有些书中称这个定理为卡诺定理。

天山草

这个定理有五个推论如下（摘自【几何瑰宝】上册第126页）：

dodonaomikiki

感谢天山老师3楼纯粹几何的证明与解答！
非常好玩！
我爱玩耍，我喜欢！
漂亮而又简洁！
感谢，感谢！

dodonaomikiki

也非常感谢天山老师普及科学知识！
之前，
这个好像没有注意，还是木有接触，
好像木有印象！
现在晓得啦！
谢谢！