求 [1／3]+[2／3]+[2^2／3]+[2^3／3]+…+[2^2024／3] 的末两位数

wintex

求 [1／3]+[2／3]+[2^2／3]+[2^3／3]+…+[2^2024／3] 的末两位数

Treenewbee

\[2^{2k} mod\ 3 =1\rightarrow [\frac{2^{2k}}{3}]=\frac{2^{2k}-1}{3}\]
\[2^{2k+1} mod\ 3 =2\rightarrow [\frac{2^{2k}}{3}]=\frac{2^{2k}-2}{3}\]
\[S=\sum_{k=0}^{2024} [\frac{2^{k}}{3}]=\sum_{k=0}^{1012} \frac{2^{2k}-1}{3}+\sum_{k=1}^{1011} \frac{2^{2k+1}-2}{3}=\sum_{k=0}^{2024} \frac{2^{k}}{3}-\sum_{k=0}^{1011} (\frac{-1}{3}+\frac{-2}{3})-\frac13=\frac{2^{2025}-2}{3}-1012\]

luyuanhong

楼上 Treenewbee 的解答已收藏。

wintex

Treenewbee 发表于 2024-1-6 23:39
\[2^{2k} mod\ 3 =1\rightarrow [\frac{2^{2k}}{3}]=\frac{2^{2k}-1}{3}\]
\[2^{2k+1} mod\ 3 =2\rightarr ...

請問老師 怎知到末兩位98

wintex

wintex 发表于 2024-1-7 10:55
請問老師 怎知到末兩位98

請問老師 怎知到末兩位98

ysr

2^2025=有610位，用时3.90625E-03秒3852487334169269478406295381625885005050194581713138107315343073311406986578451501512193848076214011155214066615330936848416275876819005143056887672716174497679576559937119018048071593092638505315310673521049924883460070925071210403661500732717057522604661685471094255791613565867074228359169053926936433973540584253033201983056661461182185351235410694518842942485547740379694246376569308537275623424551143255942297425086719674777788061177926767397367669729386238006010733212330366340298307147852340158185785124380194894676923426193356351639691015051536242430639521531251621800103006196612375759310228062994432

末尾9位是802994432，而802994432-2=802994430，802994430/3-1012=267664810-1012=267663798.

末尾2位是98.

wintex

ysr 发表于 2024-1-7 17:29
2^2025=有610位，用时3.90625E-03秒3852487334169269478406295381625885005050194581713138107315343073311 ...

如果不是機器算，是怎么算？

Treenewbee

\[\frac{2^{2025}-2}{3}-1012 \equiv \frac{2^{10}*8192^{155}-2}{3}-12\equiv \frac{124*(90+2)^{155}-2}{3}-12\equiv \frac{124*(155*90*2^{154}+2^{155})-2}{3}-12\equiv \frac{124*(5*90*2^{154}+2^{155})-2}{3}-12\equiv \frac{124*2^{155}-2}{3}-12\equiv \frac{62*8192^{12}-2}{3}-12\equiv \frac{62*(90+2)^{12}-2}{3}-12\equiv \frac{62*(12*90*2^{11}+2^{12})-2}{3}-12\equiv \frac{62*(10*90*2^{11}+2*90*2^{11}+2^{12})-2}{3}-12\equiv \frac{62*91*2^{12}-2}{3}-12\equiv \frac{31*91*8192-2}{3}-12\equiv \frac{31*91*92-2}{3}-12\equiv \frac{31*(90+1)(90+2)-2}{3}-12\equiv \frac{31*(3*90+2)-2}{3}-12\equiv \frac{31*(-30+2)-2)}{3}-12\equiv \frac{(-30+60)}{3}-12\equiv 10-12\equiv-2\equiv98(mod\ 100)\]

luyuanhong

题  求 [1／3]+[2／3]+[2^2／3]+[2^3／3]+…+[2^2024／3] 的末两位数。

解  上面第 2 楼的帖子中已经求得

           S = ∑(k=0,2024)[2^k/3] = (2^2025-2)／3-1012 。

    因为 2^10 ≡ 1024 ≡ 24(mod 100) ，所以有

    2^22 ≡ (2^10)^2×2^2 ≡ 24^2×2^2 ≡ 576×4 ≡ 2304 ≡ 4 ≡ 2^2 (mod 100) 。

    由此可得

       2^2025 ≡ (2^22)^92×2 ≡ (2^2)^92×2 ≡ 2^184×2 ≡ (2^22)^8×2^8×2

    ≡ (2^2)^8×2^8×2 ≡ 2^24×2 ≡ 2^22×2^2×2 ≡ 2^2×2^2×2 ≡ 32 (mod 100) 。

    所以有

    2^2025-2 ≡ 32-2 ≡ 30(mod 100) ，(2^2025-2)／3 ≡ 30／3 ≡ 10 (mod 100) 。

        S = (2^2025-2)／3-1012 ≡ 10-1012 ≡ 10-12 ≡ -2 ≡ 98 (mod 100) 。

    可见，[1／3]+[2／3]+[2^2／3]+[2^3／3]+…+[2^2024／3] 的末两位数是 98 。