求证：相差为2的三生素数组只有(3 ,5, 7).

波斯猫猫

求证：相差为2的三生素数组只有(3, 5, 7).

Treenewbee

\[\{2n+1,2n+3,2n+5\}\]
对于n 模3分别讨论
\[n=3k:  \{6k+1,6k+3,6k+5\}\]
\[n=3k+1:  \{6k+3,6k+5,6k+7\}\]
\[n=3k+2:  \{6k+5,6k+7,6k+9\}\]
显然至少有一个是3的倍数

波斯猫猫

思路：因三个连续正自然数中必有一个是3的倍数，故三个连续正奇数的积

(2n-1)(2n+1)(2n+3)=2n(2n-1)(2n+1)+3(2n-1)(2n+1)=3m+3(2n-1)(2n+1)

=3[m+(2n-1)(2n+1)]，即(2n-1)，(2n+1)和(2n+3)中必有一个是3的倍数.

从而得到三数组（1，3，5），（3，5，7），（5，7，9），...，（(2n-1)，(2n+1)，(2n+3)）.

故，相差为2的三生素数组只有(3, 5, 7).