设 0＜a＜b＜c＜1 ，已知 b≥2a 或 a+b≤1 ，求 max{b-a,c-b,1-c} 的最小值

有好好生活吗

一道高中数学不等式问题

如图，源于今天的适应性考试

Nicolas2050

Ｐ１４：
设 0＜a＜b＜c＜1 ，已知 b≥2a 或 a+b≤1 ，求 max{b-a,c-b,1-c} 的最小值


源于20240119八省联考高三适应性考试１４题
:


SOLUTION:
已知1>c>b>a>0,且b>=2a或a+b<=1;
令.b-a=m，c-b=n，1-c=p,m,n,p>0;
a=1-m-n-p,
b=1-n-p

1,假如b>=2a;
推导出:
1-n-p>=2-2m-2n-2p,
2m+n+p>=1;
K=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}
2K>=2m;
K>=n;
K>=p;
so 4K>=2m+n+p>=1,K>=1/4;
根据算术-几何均值不等式（AM-GM不等式），当２m=n=p时，取等号；

２,假如a+b<=1;
即1-m-n-p+1-n-p<=1;
m+2n+2p>=1;
K=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}
K>=m;
2K>=2n;
2K>=2p;
so 5K>=m+2n+2p>=1,K>=1/5;

根据算术-几何均值不等式（AM-GM不等式），当m=2n=2p时，取等号；

综合上述２种情况，Ｋ的最小值为0.2.

波斯猫猫

设 0＜a＜b＜c＜1 ，已知 b≥2a ，或 a+b≤1 ，求 max{b-a,c-b,1-c} 的最小值。

令b-a=m，c-b=n，1-c=p（m,n,p>0)，则a=1-m-n-p,b=1-n-p。
1,当b≥2a，即1-n-p≥2-2m-2n-2p时，有2m+n+p≥1，
令K=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}，则2K≥2m，K≥n，K≥p。
故，4K≥2m+n+p≥1,即K≥1/4(仅当２m=n=p时，取等号)。

２,当a+b≤1时，有1-m-n-p+1-n-p≤1，即m+2n+2p≥1。
令K=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p}，则K≥m，2K≥2n，2K≥2p。
故，5K≥m+2n+2p≥1，即K≥1/5(仅当m=2n=2p时，取等号)。
综上，Ｋ的最小值为0.2。

注：不好意思，过哈瘾。