证明：相异复数 a1,a2,a3 为正三角形顶点的充要条件为 a1^2+a2^2+a3^2=a1a2+a2a3+a3a1

wintex

证明：相异复数 a1,a2,a3 为正三角形顶点的充要条件为 a1^2+a2^2+a3^2=a1a2+a2a3+a3a1

波斯猫猫

证明：相异复数 a,b,c为正三角形顶点的充要条件为 a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca。

充分性：由a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca有，(a-b)/(c-b)=(b-c)/(a-c)=(c-a)/(b-a)，

即∣(a-b)∣/∣(c-b)∣=∣(b-c)∣/∣(a-c)∣=∣(c-a)∣/∣(b-a)∣=r。

故，∣a-b∣=r∣c-b∣，∣b-c∣=r∣a-c∣，∣c-a∣=r∣b-a∣。

∣b-c∣^2=∣a-b∣∣a-c∣=r∣a-b∣^2=∣a-b∣^2.∣a-b∣/∣c-b∣，或∣b-c∣^3=∣a-b∣^3，

即∣b-c∣=∣a-b∣。同理可证∣a-b∣=∣c-a∣。

必要性：因相异复数 a,b,c为正三角形顶点，令ω=cos60°+isin60°，

则a-c=(b-a)ω，b-a=(c-b)ω，c-b=(a-b)ω。

(a-c)^2+(b-a)^2+(c-b))^2=[(a-c)^2+(b-a)^2+(c-b))^2](-1/2+√3i/2)

[(a-c)^2+(b-a)^2+(c-b))^2](1/2-√3i/2)=0，即a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca。

luyuanhong

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ccmmjj126

我以前做过这个题目，是以前课本里的习题。证明的主要不是这个关系，这个关系只是推论。以下是其中一张图。

luyuanhong

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