反证法要义

yangls728

反证法要义
杨六省
yangls728@163.com
有些论题用直接证法不好证或者无法证明，这时，可以考虑应用反证法证明。
应用反证法的具体做法是：先找出与原论题具有一真一假矛盾关系的论题，我们把它叫做原论题的反论题。再通过让反论题参与合乎逻辑的推理推出矛盾，从而确定反论题为假。于是，由排中律可知，原论题为真。
反证法的要义有如下三点：
①反论题与原论题务必是一真一假的矛盾关系。
错误案例：√2不是有理数的传统证明把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题，但√2=p/q（p，q互质）与原论题√2=p/q（p，q 不全是整数）并非是一真一假的矛盾关系，理由是前者根本就没有意义和真假，这是由于它隐藏着复杂问语的逻辑错误（详情参阅诸平科学网2024-2-1杨六省帖文《√2不是有理数传统证明的两大错误》）。
②反论题务必参与推理，否则，怎么说明反论题就是导致矛盾发生的原因呢？
错误案例：√2不是有理数的传统证明把√2=p/q（p，q互质）作为√2不是有理数的反论题，但√2=p/q（p，q互质）中的“p，q互质”并没有参与推理。因此，传统证明是在不合法的应用反证法，其证明是无效的。也许有人会说，在传统证明中，也可以把√2=p/q（p和q均为整数）视作√2不是有理数的反论题。但问题是，由√2=p/q（p和q均为整数）既推不出√2=p/q（p，q互质），也推不出2=p/q（p和q均为偶数）（参阅资料同上），从而后续推理也就无从谈起了。
③务必做到每一步推理都是合乎逻辑的，即每一步推理结论都被前提条件所蕴涵。
这里合乎逻辑的推理就是指有效推理，就是指“前提蕴涵着结论的推理。”《哥德尔证明》一书作者说的很是到位，他说：“事实上，数学推演的有效性，并不依赖于前提之中词汇的含义或表达式的意思。……纯数学家所面临的问题，不是所假定的前提或从这些前提演绎出的结论是否为真，而是这些结论在事实上是否为初始前提的必然逻辑结果。”
错误案例：反论题√2=p/q（p和q均为整数）虽假但有意义，而√2=p/q（p，q互质）则是无意义无真假，因此，前者不可能蕴涵后者，也就是说，由前者不可能推出后者，当然，由前者也推不出√2=p/q（p和q均为偶数）。再如，由√2=p/q（p和q均为偶数）（姑且不论关于该表达式的推理是否合乎逻辑，即是否有效）也推不出√2=p/q（p和q不全是整数），即推不出√2不是有理数，想想看，“p和q均为偶数”能够蕴涵“p和q不全是整数”吗？

金瑞生

根号2不是有理数！不要说你只是杨六省，你就是杨百省也否定不了！

yangls728

金瑞生 发表于 2024-2-6 22:17
根号2不是有理数！不要说你只是杨六省，你就是杨百省也否定不了！

谁在说话呢，是混混吧？谁说过要否定“根号2不是有理数”呢？

金瑞生

yangls728 发表于 2024-2-7 07:34
谁在说话呢，是混混吧？谁说过要否定“根号2不是有理数”呢？

你是没说过要否定“根号2不是有理数”，但却要否定它的证明，使用的方法极端下流！就是栽赃陷害！“根号2是有理数”是“根号2不是有理数”的反论题，两者必有一真一假！

elim

\(\sqrt{2}\,\text{是有理数}\implies \exists p,q\in\mathbb{N}^+\;(\sqrt{2}=p/q)\)
\(\quad\implies\exists p,q\in\mathbb{N}^+(\sqrt{2}=p/q)\wedge(\gcd(p,q)=1)\)
\(\quad\implies\exists p,q\in\mathbb{N}^+(2q^2=p^2)\wedge(\gcd(p,q)=1)\)
\(\quad\implies\exists p,q\in\mathbb{N}^+(2\mid \gcd(p,q))\wedge(\gcd(p,q)=1)\)
\(\quad\implies\text{假}\)
\(\therefore\;\sqrt{2}\)不是有理数。

elim

注记：\(\mathbb{Q}=\{{\small\dfrac{p}{q}}\mid p,q\in\mathbb{Z},\; q\ne 0\}=\{{\small\dfrac{p}{q}}\mid p,q\in\mathbb{Z},\,q\ge 1=\gcd(p,q)\}\)
所以可以认为 \(\exists p,q\in\mathbb{N}^+(\sqrt{2}={\small\dfrac{p}{q}})\wedge(\gcd(p,q)=1)\)
是 \(\sqrt{2}\)为无理数的否命题.

反正法：若\(P,Q\)是二命题，且\(\lnot P\implies Q\wedge(\lnot Q)\equiv\text{假},\;\)则\(P\)真.