已知x，y∈R+，且满足xy^2.(3x+ 4y)=3，求3x+ 2y的最小值。

波斯猫猫

题：已知x，y∈R+，且满足xy^2.(3x+ 4y)=3，求3x+ 2y的最小值。

思路：∵k(3x+ 2y)=(3x+ 4y)+(k-2)y+(k-2)y+3(k-1)x≥4[3(k-1)(k-2)^2.xy^2.(3x+ 4y)]^(1/4)  (k＞2),

且xy^2.(3x+ 4y)=3，∴k(3x+ 2y)≥4[9(k-1)(k-2)^2]^(1/4)。(使用均值定理得到)

又由(3x+ 4y)=(k-2)y=3(k-1)x有，3x=(k-6)y，3x(k-1)=(k-2)y，消去x,y整理得，k^2-k+8=0，即k=4+2√2。

将其代入k(3x+ 2y)≥4[9(k-1)(k-2)^2]^(1/4)中，化简得3x+ 2y≥2√3(仅当3x=√12-√6，2y=√6时取得最小值)。

(权档服从中仰：xy^2.(3x+ 4y)=3)