四边形 ABCD 边长 a,b,c,d ，对角线长 e,f ，证：e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(A+C)

zyhlcj

如何证明广义托勒密定理：

设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为e、f，则有：

\(e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos\left( A+C\right)\)

zyhlcj

没人能证吗？我终于证出来了，见下：

zyhlcj

继续..........

天山草

设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为e、f，则有：
\(e^2 f^2=a^2 c^2+b^2 d^2-2abcd cos(B+D)\) ------①
或者
\(e^2 f^2=a^2 c^2+b^2 d^2-2abcd cos(A+C)\) ------②

这是因为：对于任意凸四边形有恒等式  \(cos(B+D)=cos(A+C)\)。

下面两张图片来自【几何瑰宝】下册第 25 页和 26 页。



至此证明①式成立。对于四个角度的一些特殊情况有以下推论：

luyuanhong

楼上 天山草 转发的帖子很好！已收藏。

zyhlcj

我后面的证明没传上来吗，再传一次，接2楼

zyhlcj

谢谢天山草提供的证明资料，证明方法没有做辅助线，不错。我的证明方法，是构造三角形来证明，思路简单，关键是另外还能得到另外两个等式，不知道是不是新的发现，另外两个等式见图：