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《四色猜想中H构形4-染色问题的解决》文中的四个创新定理及其作用

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发表于 2024-3-29 11:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 zhangyd2007@soh 于 2025-3-18 10:17 编辑

                                       《 四色猜想中H构形4-染色问题的解决》文中的四个创新定理及其作用

                                                                 第一:发现并且证明了两个新的定理

      2017年12月,张彧典发现并且证明了两个重要定理:在任何一幅用四色染色的极大平面图中,不可避免地存在至少 “一个四边形之四个顶点用四种不同颜色染色”,简称为“四色顶点四边形”存在定理(即定理1),
      同时证明了四色顶点四边形的性质定理(即定理2):
     在四色顶点四边形中,已知对角链被它的相反对角链替换时,只会改变构形的几何结构,而不会改变构形的色图。
     这两个定理为E族构形之几何结构的非十折对称化提供了正确方法。

                                                                  第二:找到了E-族(4个)构形

     1935年,《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】给出赫伍德反例构形的基本模型,同时提出了一个Errera图(即构形),称之为“染色困局”构形。
《一种试探式的平面图四染色》【2】一文又把Errera图称之为CK图。
      1992年,《已知的赫伍德范例》【3】把Errera图用它的对偶图简化表示出来,称之为“赫伍德构形”,就是论文中图3之E1。
为了名称的统一,我们把以上两种叫法统一为“赫伍德构形”,简记为"H构形 "。
       2018年,张彧典通过解析上述3个同类文献,找到了与E构形同胎的另外3个构形,这4个构形统称为“E-族构形”,分别记为E1,E2,E3,E4 。
       E-族构形的发现,为完善两个已知的重要定理以及产生新的定理打下理论基础。

                                               第三:完善了两个已知定理并且由它们导出一个新的定理

      在文献2《一种试探式的平面图四染色》中已经通过E1构形证明了一个引理,这就是
    “引理3.1:当初始染色为CK0时,算法2.1循环,并以20种不同染色序列为一个周期”。
这个引理中所说的“初始染色为CK0”,就是初始的色图,“算法2.1”就是H染色程序。
      在文献3《已知的赫伍德范例》中,米勒她们两人给出的范例2即“赫伍德构形”,并且证明了:在“四次逆时针赫伍德颠倒之后,构形发生周期性循环”,这里我们不妨称为引理3.2。
      这个引理中所说的“四次逆时针赫伍德颠倒”就是赫伍德染色程序,简记为H染色程序。
      张彧典通过E族中的4个构形周期循环性分析,证明了它们周期循环的根本原因,不仅是因为构形的初始染色,而且是因为它们都具有的十折对称性几何结构。
     为什么认识有差别呢?理由是:文献1、2、3只是考虑到E族中的一个构形即Errera图的共性---色图CK0循环,而没有考虑到E族中的四个构形的共性---十折对称的几何结构也循环。
      所以引理3.1应该完善叙述为:
   “当具有十折对称几何结构且初始染色为CK0时,算法2.1循环,并以20种不同染色序列为一个周期”。
     引理3.2应该完善叙述为:
      ”当对H构形施行H染色程序时,其十折对称且初始染色发生周期性循环。”
     显然,以上两个引理互为逆定理,如果把引理3.1作为原定理,那么引理3.2 就是它的逆定理。 根据高中数学中的四种命题真假性分类可以判定,引理3.1的四种命题都是真命题,所以它的否定理一定成立,即
      定理3:
   “当初始染色的CK0不具有十折对称几何结构时,算法2.1不循环。”
      把定理3推而广之,得到推论:
  “如果任意H构形不具有十折对称几何结构时,那么H染色程序一定不循环,即经过有限次的颠倒染色后使得构形正确4-染色。
     定理3及其推论为″点与边无限、非十折对称几何结构的H构形"之可约提供了理论证明。

                                              第四:找到了E族4构形及其放大构形4-染色的“z染色程序”(定理4)

     对于E族4个构形,如果运用H染色程序求解,都会发生周期性循环,无法证明其可约。但是,四个E族构形中,欧文、敢峄等人发现E1存在A-B环,张彧典发现E2也存在A-B环,而E3、E4存在C-D环,当在这两种特征环外作与之相反色链的颠倒染色时,都是可约的,于是完善了基特尔邻角链换色法,统一称“张氏染色程序”(简记为Z染色程序),也可以称为定理4。这个定理为E族4构形及其放大构形的4-染色提供了科学方法。
     然后,运用完全数学归纳法证明了:
     对于E族4构形任意放大构形求解时,由于在扩展区域,只是原来具有的A-C与A-D两条相交链拉长,并且产生了无用边,使得求解失去研究意义。
     

   张彧典等人通过4个定理的确立,完成了四色猜想中H构形4-染色的理论性证明,弥补了肯普(Kempe)证明d(v)=5时的漏洞,从“实践+理论”结合上给出四色猜想一个完整而简短的证明。
   论文《四色猜想中H构形4-染色问题的解决》,在2024年发表于《教育理论与研究》第20期(第2卷),全文见数学中国哥猜难题专栏。
    至此,完成了他们研究四色猜想的人工证明,历经40年的不懈探索,实现了阿佩尔的预见:
     四色问题的一个简短证明有朝一日会被发现,甚至被因此而一举成名的天才高中生所发现。
     愿意切磋的联系18335385319(也是微信号)。
发表于 2024-3-29 11:52 | 显示全部楼层
天才高中生张彧典,一事无成,连大学都没考上!
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