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已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1,f(2)=4,f(3)=6,求 f(0)+f(4) 的值

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发表于 2024-4-13 11:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2024-4-17 19:01 编辑

已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1,f(2)=4,f(3)=6,求 f(0)+f(4) 的值
发表于 2024-4-13 18:29 | 显示全部楼层
656,wintex,答案多少?列个方程。

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謝謝老師  发表于 2024-4-14 11:37
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发表于 2024-4-14 00:42 | 显示全部楼层
  已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,求 f(0)+f(4) 。

  令 F(x)=f(x)-x^4=ax^3+bx^2+cx+d ,F(x) 是一个三次多项式。

     在等距节点 x=0,1,2,3,4 上,三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的函数值的四阶差分必定等于 0 。

          x                    0                    1                           2                             3                          4

F(x)=f(x)-x^4   F(0)=f(0)   F(1)=f(1)-1=0   F(2)=f(2)-16=-14   F(3)=f(3)-81=-78   F(4)=f(4)-256

                                    ↘  ↙                 ↘  ↙                       ↘  ↙                       ↘  ↙

一阶差分              0-f(0)=-f(0)       -14-0=-14          -78-(-14)=-64     f(4)-256-(-78)=f(4)-178

                                             ↘  ↙                  ↘  ↙                       ↘ ↙

二阶差分                  -14-[-f(0)]=f(0)-14   -64-(-14)=-50   f(4)-178-(-64)=f(4)-114

                                                         ↘  ↙                    ↘  ↙

三阶差分                     -50-[f(0)-14]=-f(0)-36    f(4)-114-(-50)=f(4)-64

                                                                   ↘  ↙

四阶差分                                 f(4)-64-[-f(0)-36]=f(0)+f(4)-28


因为三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的四阶差分等于 0 ,即有 f(0)+f(4)-28=0 ,所以 f(0)+f(4)=28 。

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謝謝陸老師  发表于 2024-4-14 08:05
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发表于 2024-4-14 01:13 | 显示全部楼层
例如,当 a = -6 ,b = 11 ,c = -5 ,d = 0 时,f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 5x 。

这时有

f(0) = 0^4 - 6×0^3 + 11×0^2 - 5×0 = 0 ;

f(1) = 1^4 - 6×1^3 + 11×1^2 - 5×1 = 1 ;

f(2) = 2^4 - 6×2^3 + 11×2^2 - 5×2 = 2 ;

f(3) = 3^4 - 6×3^3 + 11×3^2 - 5×3 = 3 ;

f(4) = 4^4 - 6×4^3 + 11×4^2 - 5×4 = 28 。

符合 f(1) = 1 , f(2) = 2 , f(3) = 3 的已知条件,有 f(0) + f(4) = 0 + 28 = 28 。

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謝謝陸老師  发表于 2024-4-14 08:05
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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