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凑一个齐次基本不等式

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发表于 2024-4-18 07:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
凑一个齐次基本不等式

原创 AthlonBE 唯思客俱乐部 2024-03-28 03:13 比利时

今天在公众号“数学是钢老师教的”上看到一道不等式题:



原题的答案采用了反证法,比较巧妙:



钢老师和他的学生采用了二项式展开的方法,也比较巧妙:



最后,钢老师向大家提问:对于正实数 x ,y 和 z ,这个不等式何时取等号?

我的答案是这道题有瑕疵,因为等号是取不到的。

用以上两种方法都可以得出这个结论。

对于反证法,第一步就可以假设存在 x0 ,y0 和 z0 ,使得不等式左端的表达式小于等于右端的表达式。

剩下的步骤和原方法相同,因为 x0 ,y0 和 z0 都是正实数,所以在放缩过程中取不到等号,只能取小于号,最后得出

(x0y0z0)^16 < (x0y0z0)^16

这样矛盾的结果。从而证明了原假设中等号也无法取得的结论。

对于二项式展开的方法,二项式展开后只取第二项,即 C(n,1) 这一项,这个放缩过程中如果要取等号,则意味着包括首尾两项在内的其他 n 项都等于 0 ,这要求二项式展开前的两项都等于 0 ,显然与 x ,y 和 z 都是正实数的条件矛盾。因此,原不等式不可能取到等号。

下面我给一个通用的方法,用来解决非齐次基本不等式问题。

先举一个一般的例子,比如:

          x + y^2 + z^3

直接对三项之和使用基本不等式 AM-GM 的话,只能得到:



注意到不等式右边三个变量的幂是不等的。

为了在不等式右边得到齐次的变量乘积,我们可以在不等式左边凑一凑:



这样,再对这 11 项之和使用 AM-GM ,就可以在不等式右边得到齐次的变量乘积了。



回到钢老师的这道题。

先推一个通用不等式,对于任意正实数 a ,b 和 p ,总有:



证明这个通用不等式很简单,也是凑一凑,然后用基本不等式 AM-GM :



因为 p > 0 , 所以 p + 1 > 1 ,(p + 1)^(p + 1) > (p + 1)^p > p^p 。

以上缩放过程中只能取大于号,所以:



剩下的工作就简单了。

根据上述通用不等式,



两边再取一次根号,原不等式得证。

当然,等号同样是不成立的。

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