问一个概率问题

ccmmjj126

从微博上看到的，好象是和分布有关的问题，想知道有没有一般性的解答：

题目：抛一枚理想的硬币100次，记录正(H)和反(T)的出现顺序。对于每个HH（连续的正），小明得一分；对于每个T_T （即两个中间隔了一个的反+反，中间那一次是正或反都无所谓）小红得一分。得分高者胜出。问，谁的赢面更大？

比如前10次的结果是 HHHTHTHTTT，
小明会得 2 分（得分点是从1和2号位置开始的两组HH），小红会得到 3 分（从4、6和 8号位置开始的T_T）。

lihp2020

个人认为 小明 胜率 要大些
其中这个N代表次数
N 越大 小明的胜率越接近1/2
大概公式 是1/2 -K（平局）+1/n*（&&）一样

理由是 n次小明有n-1次得分机会 小红只有n-2次 机会得分

我可以计算机验证 N=2~20 来验证

lihp2020

利用动态规划递推公式

F(a ,b,c)=K
其中a 表示结束的两个位置 分别是HH HT TH TT
b 表示 多少次 b>=3 (小于3 直接定值  不用计算 有些都没意义)
c 代表差值 +2 就表示 小明比小明多2分
K 代表 出现次数??

递推公式有
F("HH",n+1,c)=F("HH",n,c-1)+F("TH",n,c-1)
F("HT",n+1,c)=F("HH",n,c)+F("TH",n,c+1)
F("TH",n+1,c)=F("HT",n,c)+F("TT",n,c)
F("TT",n+1,c)=F("HT",n,c)+F("TT",n,c+1)


最后就是 求和 a=* c>0 F(a,100,c)   -->A (没有用数学编辑器 应该看的懂)
求和 a=* c=0 F(a,100,c)   -->B
求和 a=* c<0 F(a,100,c)   -->C

求A与C的大小关系

lihp2020

你的递推公式中我似乎只看到个数的多少，没看到和概率有关的计算

个数比 不就是概率  假如A =1123 B =222 C =4548
赢了概率就是 1123/(1123+222+4548)
平的概率222/(1123+222+4548)
输的概率4548/(1123+222+4548)

lihp2020

初始值
HHH HHT HTH HTT
THH THT TTH TTT
F("HH",3, 1) =1 (THH)
F("HH",3, 2) =1 (HHH)
F("HT",3, 1) =1 (HHT)
F("HT",3,-1) =1 (THT)

F("TH",3, 0) =2 (HTH,TTH)
F("TT",3, 0) =1 (HTT)
F("TT",3,-1) =1 (TTT)

这只是就是n=3 的初始化

lihp2020

程序输出 n 越大  小明 获胜概率越大  

ccmmjj126

嗯，应该是这样的。不知道版主luyuanhong  对这一题有什么想法？
题目的原发者不知道为什么说这是反直觉的问题？小明获胜的概率大很符合直觉啊！

Ysu2008

投掷均匀硬币100次，投掷出“HH”的概率为 1/4，从硬币第 2 次投掷计数，总计投掷99次，"HH"平均出现次数为 99/4；
投掷出“T*T”的概率也为 1/4，从硬币第 3 次投掷计数，总计投掷98次，"T*T"平均出现次数为 98/4；

“HH”出现的平均次数略大，赢面略大。

lihp2020

time=10ratio:
(A>B): 0.711914
(A=B): 0.0908203
(A<B): 0.197266
time=20ratio:
(A>B): 0.820332
(A=B): 0.0493774
(A<B): 0.130291
time=30ratio:
(A>B): 0.879747
(A=B): 0.0304128
(A<B): 0.0898402
time=40ratio:
(A>B): 0.916811
(A=B): 0.0199766
(A<B): 0.0632124
time=50ratio:
(A>B): 0.941345
(A=B): 0.0135951
(A<B): 0.0450603
time=60ratio:
(A>B): 0.958121
(A=B): 0.0094577
(A<B): 0.0324217
time=70ratio:
(A>B): 0.969829
(A=B): 0.00667853
(A<B): 0.0234927
time=80ratio:
(A>B): 0.978116
(A=B): 0.00476744
(A<B): 0.0171167
time=90ratio:
(A>B): 0.984042
(A=B): 0.00343134
(A<B): 0.0125267
time=100ratio:
(A>B): 0.988313
(A=B): 0.00248569
(A<B): 0.00920113

Ysu2008

lihp2020 发表于 2024-4-25 14:31
time=10ratio:
(A>B): 0.711914
(A=B): 0.0908203

胜率不会差这么大吧，你再检查下。