用康托尔实数定义证明\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)

春风晚霞

       这是一个曹先生做过的练习题，曹先生说这个题是错题。“错误”的原因是康托尔把等价当成相等了。曹先生为什么要这样认为呢？其根本原因就是如果承认康托尔的实数定义，就得全面否定他的《全能近似》。与曹氏一样，e氏也间接否定康托尔实数定义，否定的原因当然是维护他的“\(\tftac{1}{10^n}\)永远不等0”的数学思想。下边我们根据康托实数定义，证明连等式\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)。
    【分析】要用康托尔实数定义证明连等式\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)，就必须验证①数列\(\{a_n=1-\tfrac{1}{10^n}\}\)、数列\(\{b_n=1\}\)、列\(\{a_n=1+\tfrac{1}{10^n}\}\)是康托尔基本有理数列；②
验证康托尔基本序列\(\{a_n=1-\tfrac{1}{10^n}\}\)、\(\{b_n=1\}\)、\(\{a_n=1+\tfrac{1}{10^n}\}\)等价；③根据康托尔实数定义写出结论。
【证明】因为对任意的p、q∈N(不妨设p<q)有\(|a_q-a_p|\)=\(|c_q-c_p|\)=\(\tfrac{1}{10^p}(1-\tfrac{1}{10^{q-p}}\)<\(\tfrac{1}{10^p}\)，所以对任给的ε>0存在\(N_ε\)，当p，q>\(N_ε\)时恒有\(|a_q-a_p|\)=\(|b_q-b_p|\)=\(|c_q-c_p|\)<ε，所以数列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)都是康托尔基本有理数列。又因\(|a_m-1|\)=\(|c_m-1|\)=\(\tfrac{1}{10^m}\)，所以康托尔基本数到\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)等价。从而康托尔基本数到\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\)同类，所以根据康托尔实数定义有\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)【证毕】。

春风晚霞

去认真阅读一下你的门生的截图，再来叽叽喳喳不迟！

elim

蠢疯顽瞎的 \(1+\frac{1}{10^n}\) 是指一康托基本列的通项，那么 \(\{1\}\sim\{1\pm\frac{1}{10^n}\}\)
即所论三个基本列是等价的，但这些通项并不相等 \(1\ne 1\pm\frac{1}{10^n}\;(\forall n)\)
如果 \(1+\frac{1}{10^n}\) 是指康托意义下的实数，那么它是常数基本列(n固定) \(1+\frac{1}{10^n}，1+\frac{1}{10^n}，1+\frac{1}{10^n}，\ldots\) 所在的基本列等价类，与 \(1,1,1,\ldots\) 所在基本列等价类不交，所以也没有 \(1=1\pm\frac{1}{10^n}\).
蠢疯顽瞎需要吃药，但没药可吃。

春风晚霞

elim根本就不知道康托尔基本有理数列的等价、同类的定义是什么？

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-1 05:26
为什么说你蠢疯顽瞎就错误呢？我需要没有后继的自然数吗？
称 \(\color{blue}{\displaystyle\bigcap_{n=1} ...

这样的帖子已交流过多少次了，你能指出自然数从哪个数开始没有后继吗？把一个错误的帖子反复拿出来显摆，也不嫌丢人！

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-1 07:03
称 \(\color{blue}{\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty \{m\in\mathbb{N}^+: m>n\}\ne\varnothing}\)就是称 ...

这样的帖子已交流过多少次了，你能指出自然数从哪个数开始没有后继吗？把一个错误的帖子反复拿出来显摆，也不嫌丢人！

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-1 09:16
称 \(\color{blue}{\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty \{m\in\mathbb{N}^+: m>n\}\ne\varnothing}\)就是称 ...

这样的帖子已交流过多少次了，你能指出自然数从哪个数开始没有后继吗？把一个错误的帖子反复拿出来显摆，也不嫌丢人！

春风晚霞

elim 发表于 2024-5-1 15:46
我不觉得你的反复胡扯无耻．老痴而已．
称 \(\color{blue}{\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty \{m\in\mat ...

elim的【对任意n(∈N), 其后继n′也是自然数，且n<n′. 所以n 是有限自然数.】看似无瑕，实则大谬，因为n是自然数，所以n的后继亦是自然数，从而n的后继的后继亦是自然数……如此无限延继，无限增大，岂有不趋向于∞之理？！

elim

没有无穷大自然数．趋于无穷就出了自然数集，不在这个交中了．

春风晚霞

elim的【对任意n(∈N), 其后继n′也是自然数，且n<n′. 所以n 是有限自然数.】看似无瑕，实则大谬，因为n是自然数，所以n的后继亦是自然数，从而n的后继的后继亦是自然数……如此无限延继，无限增大，岂有不趋向于∞之理？！