数学引领，物理相随——四维时空的起源

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数学引领，物理相随——四维时空的起源

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-04-02 08:00 陕西



“事实上，统计物理学的主要兴趣并不在于现象在空间上的分布，而在于它们在时间上的连续性。”— Richard von Mises（理查德-冯-米塞斯）

在牛顿力学中，空间和时间总是被认为是相互独立的。三维空间--长、宽、高构成了欧几里得几何学的主干，尼古拉-罗巴切夫斯基（1793-1856 年）在 19 世纪 20 年代左右将其概括为双曲几何学的一种形式。同样，时间也被认为是一种哲学概念，与宇宙中的其他物理现象无关。直到 17 和 18 世纪，科学家和物理学家才认真对待时间概念。

与人们的普遍看法相反，阿尔伯特-爱因斯坦（1879-1955 年）并不是第一个提出四维时空连续性观点的人。此外，他一开始也无法理解，并完全回避了这一观点。但是，后来他如此热情地欢迎这一观点，以至于人们开始错误地将这一发现归功于他。

然而，空间和时间确实是相互交织的，这一观点最早是由德国数学家赫尔曼-闵科夫斯基（1864-1909 年）于 1908 年提出的。闵科夫斯基最初在柯尼斯堡文理中学学习，在那里他熟悉了狄里希莱特、戴德金和高斯等伟大数学家的作品。他还在那里遇到了大卫-希尔伯特（1862-1943 年），两人成为了好朋友。当时，他对二次型的相关问题更感兴趣。

1885 年，他完成了博士学位，论文题目是 "研究正方形，确定包含给定属的不同形状的数量"。随后，他开始在苏黎世联邦理工学院担任教授，爱因斯坦曾在该学院学习过几门课程。

1902 年，他带着家人离开苏黎世，在希尔伯特的支持下进入哥廷根大学。从那时起，他开始对与数学物理有关的问题产生了浓厚的兴趣。当然，希尔伯特对他的影响是巨大的。他通过参加几次研讨会了解到电动力学领域的最新进展。

随后，他注意到，洛巴切夫斯基、博尔耶和黎曼发展的非欧几里得几何学可以更好地结合亨德里克-洛伦茨和爱因斯坦的工作。随后，他提出将空间和时间合二为一，这后来成为广义相对论的数学基础。1907 年，哥廷根的数学家们组织了一次关于相对论的讨论会，他有机会在会上介绍了自己关于相对论几何的研究成果。

我们可以通过想象一个简单的场景来理解这种时空结合的概念。比方说，如果你正从罗马前往巴黎，那么在物理空间中改变几乎是显而易见的，但你也在时间中移动。因为完成一次旅行也需要有限的时间。再比如，如果你和朋友们决定在户外聚会，你就必须在空间上规划一个合适的地点，并选择一个合适的时间。如果漏掉了上面的一点，信息肯定是不完整的。因此，时间和空间是密不可分的。

此外，如果你从地球到另一个星球的旅行速度接近光速，那么你在太空中旅行了一百万英里，但在时间上只旅行了几分钟。因此，在太空中旅行的速度越快，在时间上旅行的速度就越慢。



闵科夫斯基的空间和时间（时空）

“数学可以说是主宰，而物理理论则可以向主宰低头”

闵科夫斯基将他在二次型的专业知识应用于爱因斯坦和庞加莱提出的洛伦兹变换。尽管波恩卡莱在他的一篇论文中指出洛伦兹变换代表了四维空间中的广义旋转，但他不知何故错过了将空间和时间作为一个整体来处理的机会。另一方面，闵科夫斯基定义了四维矢量空间，而不是三维空间，这完全描述了所有可能发生的事件，而没有将时间和空间分开。

之后，他于 1908 年提交了一份长达 60 页的综合手稿，介绍了相对论的四维方法，标题为 "运动物体电磁过程的基本方程"。光锥、世界线、类空间矢量和类时间矢量的概念就源于此。四维框架不仅仅是数学上的操作，它还揭示了相对论电磁学中存在的不变量。

同年 9 月，他在科隆举行的第 80 届德国自然科学家和医生大会上发表了著名的论文《Raum and Zeit》。他在演讲开始时作了一段发人深省的引言

“我想向你们阐述的空间和时间观点，是从实验物理学的土壤中萌发出来的，它们的力量就在于此。它们是激进的。从今往后，空间本身和时间本身注定会逐渐消失，成为纯粹的影子，只有两者的某种结合才能保持独立的现实。”

这一次，他引入了时空图，以更好地说明和支持他的论点。他把空间维度绘制在 x 轴上，把时间维度（ct）绘制在 y 轴上，并把粒子的轨迹称为世界线。这些时空图显示了物体随时间流逝的位置。一个人如果处于静止状态，即没有在空间任何地方移动，那么他的轨迹仍然是垂直方向的，因为他仍然在时间中移动，并且在变老。


时空图，黄线是光子的轨迹。

他指出，光子总是沿着 45 度的方向运动，并称之为由空矢量构成的类光曲线。另一方面，大质量粒子沿着一条比 45 度更陡的时间曲线运动。低于 45 度的区域与空间矢量相对应，是无法到达的，因为人们必须以超过光速的速度才能到达那里。这个宇宙中的所有物理活动都可以用这个光锥来描述。事实上，闵科夫斯基的“Raum is Zeit”是静态的、平面的和无限的。

最后，他发表了如下讲话：

“我认为，世界公设[即相对论公设]的有效性毫无例外地是世界电磁图像的真正核心，它由洛伦兹发现，并由爱因斯坦进一步揭示，现在正敞开在光天化日之下。”

美国数学家和历史学家莫里斯-克莱恩（1908-1992 年）在他的评论中写道：

“这篇论文的一个关键点是数学物理学家与理论物理学家处理物理问题的方法不同。在 1908 年发表的一篇论文中，闵科夫斯基重新表述了爱因斯坦 1905 年的论文，引入了四维（时空）非欧几里得几何，而爱因斯坦当时并没有想到这一步。

但更重要的是闵科夫斯基、希尔伯特（闵科夫斯基曾与希尔伯特共事数年）、菲利克斯-克莱因和赫尔曼-韦尔所奉行的态度或哲学，即在接受新的物理事实时，纯数学考虑因素，包括思想的和谐与优雅，应占据主导地位。

可以说，数学是主宰，而物理理论可以向主宰俯首称臣。”



爱因斯坦的回应

尽管爱因斯坦对物理的理解非常敏锐，但他始终认为数学只是一种抽象概念，与现实无关。他显然不愿意承认闵科夫斯基的研究成果，正如他所说的那样："自从数学扑向相对论之后，我自己就不再理解它了！"他还经常称其为 "多余的博学"。然而，时间证明闵科夫斯基是对的！

闵科夫斯基对他的学生爱因斯坦的思想产生了很大的影响：

“阿尔伯特-爱因斯坦在其科学生涯的早期，认为数学只是为物理直觉服务的工具。后来，他开始将数学视为科学创造力的源泉。这一变化背后的主要原因是两位德国著名数学家的影响：大卫-希尔伯特和赫尔曼-闵科夫斯基的影响。”

闵科夫斯基的这一革命性工作不仅帮助爱因斯坦概括了万有引力并涵盖了加速参照系，还为弦理论和量子引力等物理学的其他几个领域做出了贡献。闵科夫斯基的形式主义为爱因斯坦的广义理论提供了锚，爱因斯坦对闵科夫斯基的形式主义感激不尽。

死亡

不幸的是，赫尔曼-闵科夫斯基没能到看到看到自己努力的结晶，1909 年，年仅 44 岁的他因阑尾炎去世。

与闵科夫斯基有着深厚渊源的希尔伯特为他的讣告写下了如此感人肺腑的文字：

“从学生时代起，闵科夫斯基就是我最好、最可靠的朋友，他以其特有的深沉和忠诚支持着我。

我们最热爱的科学让我们走到了一起；对我们来说，它就像一个开满鲜花的花园。在花园里，我们喜欢寻找隐藏的路径，发现了许多新的视角，这些视角吸引着我们的美感，当我们中的一个人把这些视角展示给另一个人，我们一起惊叹时，我们的快乐就圆满了。对我来说，他是上天赐予我的一份难得的礼物，我必须感谢自己能够长久地拥有这份礼物。

现在，死亡突然将他从我们中间夺走。然而，死亡带不走的是他在我们心中的崇高形象，以及他的精神将继续活跃在我们心中的认知。”

好了，今天就到这里再次感谢您的阅读，我们下期见。



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