素数数列是数学的心跳

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素数数列是数学的心跳

原创 图灵新知 图灵新知 2024-04-12 19:01 北京



科学家并不是因为自然有用才去研究它的，而是因为他们乐于研究这个。驱使他们研究的乐趣，就是自然之美。如果自然缺少了美感，那就不值得研究；如果自然不值得研究，那么人间或许也不值得来一趟。

——庞加莱

1993 年 6 月，英国数学家安德鲁·怀尔斯在剑桥大学演讲时，宣布证明了费马大定理。这一消息公布后，全场沸腾。那令人激动万分的一幕，当时在场的人们仍记忆犹新。怀尔斯证明了费马是对的：方程 x^n+y^n=z^n 在 n＞2 时无正整数解。当怀尔斯结束演讲放下粉笔的那一刻，在场的人们沸腾了。他们兴奋地开启香槟酒，庆祝这一时刻。记者们也纷纷拿起照相机，开始拍个不停。

然而，数学家们知道，相比于知道费马方程无解，证明黎曼假设才真正关乎数学界的未来。正如邦别里在 15 岁那年发现的，证明黎曼假设旨在理解数学中最基本的对象——素数。

素数正是算术中的原子。素数就是不可分割的数字，无法写成两个较小数字的乘积。数字 13 和 17 都是素数，不过 15 就不是，因为它能够写成 3 和 5 的乘积。素数如同散落在整个广袤无垠宇宙中的珠宝，是能让数学家不惜花上几个世纪来探索的数字。对数学家而言，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, …，这些永恒的数字似乎披上了神秘的外衣，它们独立于我们的物理世界而存在。它们是大自然赐予数学家的礼物。

素数对数学的重要性在于其构造所有其他数字的魔力。每个合数（非素数）都可以由几个素数相乘得出。这就如同在物理世界中，每个分子都可以由化学元素周期表中的原子构成，素数列表就是数学家心中的元素周期表。素数 2、3、5 是数学家在实验室里的氢、氦、锂。掌握这些素数，数学家就能在错综复杂的数学探索之路上披荆斩棘、上下求索，开拓出一片新天地。

尽管素数简单而基础，但还是成为了让数学家孜孜不倦研究的一个最为神秘的课题。素数给这个旨在发现规律和规则的学科带来了空前的挑战。浏览一组素数，你会发现，根本不可能预测下一个素数何时出现。素数数列看起来无序而随机，对预测下一个素数也没有提供什么线索。素数数列是数学的心跳，但它是被强大的咖啡因鸡尾酒所激发起来的脉搏跳动（见下图）。



你能否找到一个创建数列的公式，它有个神奇的法则，能告诉你第 100 个素数是什么？从古至今，这个问题便一直困扰着数学家们，成为其挥之不去的噩梦。尽管两千多年过去了，素数似乎还是对那些妄图将它们直接归入公式的人们嗤之以鼻。一代代数学家们聆听着素数的鼓点，一开始他们听到两下敲击，接着是三下、五下、七下。随着鼓点继续敲击，节拍越来越没有内在逻辑，使人不得不相信这就是一片随机的白噪声。追求规律性一直是数学这门学科的重中之重，而数学家在素数这里只能听到一片混乱嘈杂之声。

自然选择素数的方式似乎毫无规律可循。数学家们则接受不了这一事实。如果缺乏数学规律，缺乏简洁之美，那就不值得研究了。白噪声从来就无法让人心旷神怡。法国数学家亨利·庞加莱在书中这样写道：“科学家并不是因为自然有用才去研究它的，而是因为他们乐于研究这个。驱使他们研究的乐趣，就是自然之美。如果自然缺少了美感，那就不值得研究；如果自然不值得研究，那么人间或许也不值得来一趟。”

人们或许希望，素数的脉搏在起初的混乱之后可以逐渐平稳下来。然而事与愿违，随着计数的增加，事情似乎变得越来越糟糕。下面分别来看看小于和大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数。

首先是在小于 10 000 000 的 100 个数字里，素数有多个：

9 999 901 , 9 999 907 , 9 999 929 , 9 999 931 , 9 999 937 , 9 999 943 , 9 999 971 , 9 999 973 , 9 999 991 。

在大于 10 000 000 的 100 个数字里的素数却屈指可数：

10 000 019 , 10 000 079 。

很难想象什么样的公式能生出这种规律的数字来。实际上，相比于有序的数列规律，素数的队列更像是一种对数字的无序继承。如同知道前 99 次抛硬币的结果，还是无法让你得到第 100 次的结果一样，素数也是不可预测的。

在数学界，素数被披上了一层最神秘莫测的外衣。其一，一个数字只有两种情况，要么是素数，要么不是素数。抛掷硬币也无法决定一个数字能否被更小的数字整除。其二，没有人否认素数序列看起来就像一个随机选择的数列。物理学家已经认同了这一观点：量子的毁灭决定宇宙的命运，每次投掷随机选择科学家所能找到的物质。数学上这么重要的数字，难道是由大自然掷骰子决定的？但如果接受这个事实，那就会让数学界陷入尴尬的境地。随机和无序简直是对数学家的诅咒。

素数尽管具有随机性，但相比其他任何数学文化遗产，它们更具持久性和普遍性。无论我们有没有找到更高效的方法来辨识它们，素数就在那里。来自剑桥大学的数学家 G.H. 哈代在其著作《一个数学家的辩白》中写道：“317 是素数，不是因为我们认为如此，或者我们的感知方式是如此，而是因为它本就如此，因为数学世界就是如此构建的。”

一些哲学家或许会反驳柏拉图的世界观，即相信有一个超越人类的绝对而永恒的世界存在。但是在我看来，那正是使他们成为哲学家而非数学家的原因之所在。邦别里在邮件中特别提到的数学家阿兰·孔涅和神经生物学家让 - 皮埃尔·尚热，在 Conversations on Mind , Matterand Mathematics 一书中有一段火药味十足的精彩对话。数学家认为数学存在于意识之外，而神经学家果断地驳斥了这种观点：“我们为什么在空中看不到用金字书写的‘ π =3.141 6 ’，或者在水晶球倒影处出现的‘ 6.02×10^23 ’呢？”孔涅则坚称：“独立于人类意识之外，存在着一个原生而永恒的数学世界。”在那个世界的中心，则存在着一组不变的素数。这给尚热一种深深的挫败感。孔涅还断言：“数学无疑是唯一的通用语言。”人们可以幻想在另一个世界有不同的化学物质和生物。但是，不论在哪个星系，素数还是素数，始终如一。

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