{a(n)} 满足 a(n+1)^2-a(n+1)=2√[1+a(1)^3+a(2)^3+…+a(n)^3]，a(1)=2，求通项公式

H2L

a1=2

求通项公式  有无数学归纳法以外的方法

lihp2020

这个公式  怎么求a1？？

H2L

lihp2020 发表于 2024-5-15 11:01
这个公式  怎么求a1？？

a1=2  忘记给了

Treenewbee

显然\[a_{n+1}^2-a_{n+1} >=0\]

令n=0,可得：\[a_{1}^2-a_{1} =2，a_1=2\]

两边平方\[(a_{n+1}^2-a_{n+1})^2=4(1+a_1^3+a_2^3+...+a_n^3)\]

两边平方\[(a_{n}^2-a_{n})^2=4(1+a_1^3+a_2^3+...+a_{n-1}^3)\]

两式相减得
\[(a_{n+1}^2-a_{n+1})^2-(a_{n}^2-a_{n})^2=4a_{n}^3\]
即
\[(a_{n+1}^2-a_{n+1})^2=(a_{n}^2+a_{n})^2\]

\[(a_{n+1}^2-a_{n+1})=(a_{n}^2+a_{n})\]

\[(a_{n+1}+a_{n})(a_{n+1}-a_{n}-1)=0\]

\[a_{n+1}=a_{n}+1\]

\[a_n=n+1\]

luyuanhong

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