代数式——数学皇冠上的瑰丽明珠

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代数式——数学皇冠上的瑰丽明珠

原创 华南数学教育小组 华南数学教育共同体 2024-04-15 20:38 广东

由数和字母经过代数运算所得的式子的代数式与代数有着紧密联系；代数在数学中的应用广泛，它可以用来解决各种实际问题，在数学领域占据了重要地位。

你了解代数式的发展历史吗？接下来让我们穿过时间长廊，共同去探索代数式与代数的奥秘。

1  代数发展之路——起源

一元一次方程最早见于约公元前 1600 年的古埃及时期。

一元二次方程则在公元前 2250 年古巴比伦人掌握了与求解相关的代数学知识，并将之应用于解决有关矩形面积和边的问题。


古埃及的数学文献

阿尔·花拉子模（Al - Khwarizmi），波斯数学家，代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。

他的著作《代数学》（Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala）是第一本解决一次方程及一元二次方程的系统著作，他因而被称为代数的创造者，书中阐述了解一次和二次方程的基本方法及二次方根的计算公式，明确提出了代数、已知数、未知数、根、移项、集项、无理数等一系列概念，并载有例题800多道，提供了代数计算方法，把代数学发展成为一门与几何学相提并论的独立学科。代数学（Algebra）一词即由此书而来。


阿尔·花拉子模

一元三次方程的几何解法则由波斯数学家奥马·海亚姆较为完整地考虑了所有形式。

奥马·海亚姆（Omar Khayyam），波斯数学家，将圆锥曲线解三次方程的方法用以解决阿基米德的“平面截球问题”。

他考虑了所有形式的三次方程，都给出几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根，他曾探索过三次方程的算术（代数）解法，但没有成功。奥马·海亚姆还发展了欧几里得的几何代数学，使几何与代数更紧密地联系起来。


奥马的三次方程解法

2  代数发展之路——繁生

塔塔利亚发现了一元三次方程的一般求解方法。在 1535 年他在与费奥里的公开学术论战中，战胜了对手。


塔塔利亚

卡尔达诺（卡当）对代数的发展做出了重要贡献。他最重要的著作《大术》（1545），首次公布了三、四次代数方程的一般解法，确认了高于一次的代数方程多于一个根，已知方程的一个根可将方程降阶，指出方程的根与系数间的某些关系，利用反复实施代换的方法求得方程的近似解。

在其当中关于一般二次代数方程的求根公式今称“卡当公式”或“卡尔达诺公式”。他是第一个把复数的平方根写到公式中的数学家。

十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式的概念，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲，另一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹。


关孝和

1750 年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的克莱姆法则）。

范德蒙是第一个对行列式理论进行系统的阐述（即把行列式理论与线性方程组求解相分离）的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。

3  代数发展之路——攀峰

历史逐渐步入近代，代数学家们仍焦头烂额的问题有两个：一个叫代数基本定理，一个叫高次方程求根公式。

18 世纪末，一个才华横溢的青年在数学和语言学之间纠结徘徊。而当他用尺规作图作出正十七边形的那一刻，注定了他会改变历史。这位青年，叫高斯。

19 岁那年，他作出了正十七边形并发现了可以尺规作图的正多边形的边数规律，他因此选择了数学的道路。


高斯的正十七边形

高斯之前，人们揭示了方程的根与复数的关系。数学家们越来越相信，在复数域内，n 次方程有 n 个根，今天我们叫它代数基本定理。欧拉证明了这个定理对 2、3、4 次方程都成立，并认为这个方法可以推广到任意 n 次方程。高斯对此证明了假设。得出“所有系数为实数的多项式都是一次或二次多项式的乘积”的结论。这实质上证明了代数基本定理。


数学家高斯

19 世纪，数学世界的夜空上出现了两颗流星。这两颗流星转瞬即逝，但他们的光辉永远被世人铭记。他们的生命虽然短暂，但是他们的成就却不输从前任何一位数学家。他们亲手终结了经典代数的探索，使代数学的研究进入近世代数阶段。

这两颗流星，一颗叫尼尔斯·阿贝尔，另一颗叫埃瓦里斯特·伽罗瓦。

阿贝尔，1802 出生于挪威。1815 年，阿贝尔转入奥斯陆的大教堂学校学习，成绩十分优秀。后来，一位数学教授的助理来到这里，激发了阿贝尔的求知欲，从此投入数学的怀抱之中。


尼尔斯·阿贝尔

1819 年，阿贝尔从大教堂学校毕业，进入今天的奥斯陆大学学习。当时的大学教授发现了他的过人天赋，共同出资为他筹措了一笔奖学金，使得他能够潜心钻研数学问题。

1823 年，阿贝尔证明了一元五次方程没有根式解。这个证明，他只用了六页纸，而在他之前的鲁菲尼则用了 500 页纸，结果还是有错的。可惜，阿贝尔的这篇文章并没有得到数学界的积极反馈。他景仰的大数学家高斯直接搁置论文，没有读过，边都没有裁开。

阿贝尔用一个明确的否定，在“所有方程都可以用根式求解吗”这个问题上划开了一个叫五次方程的口子。而对于更高次方程是否有根式解，埃瓦里斯特·伽罗瓦，被历史选中回答了这个问题。

埃瓦里斯特·伽罗瓦，1811 年出生于法国巴黎郊区，1823 年入读路易大帝学院，他的数学才能逐渐体现出来。他向柯西提交了一篇论文，但是不幸的是，柯西将这份论文手稿“弄丢了”。后来，他又向傅里叶提交论文，但是傅里叶却突然去世，而在他去世之后，他的论文手稿再次不见踪影。后来泊松又打回了他的论文。


埃瓦里斯特·伽罗瓦

伽罗瓦怒不可遏，将这一切视为保守派埋没扼杀人才的阴谋，走上了推翻波旁王朝的革命道路。当然，他的革命太过于冲动和偏激。1832 年，伽罗瓦假释出狱，他陷入了自己一生中唯一的一次恋爱。他为了求爱选择决斗，并在这场决斗中丧生，年仅 22 岁。



决斗前的那一晚他并没有睡觉，他将自己一生的数学成就写在信中，交给了自己的朋友，希望自己的朋友能找到识马的伯乐。后来，大数学家刘维尔认真分析解读了伽罗瓦的论文，将一个崭新的数学概念——群，带入了数学世界，终结了对高次方程求根公式这一举世难题。从此，数学进入了近世代数时代。

回顾了代数的历史进程，我们不禁感叹代数的无限魅力，让我们一起继续去探索代数的奥秘，去探索更加广阔的代数吧！

4  代数式的应用

物理学

通过代数式,我们可以分析极化电荷和自由电荷产生的原因和特点,进而研究各种电学现象的本质。

生物学

研究动物的进化策略、种群动态、性选择等方面。通过代数的方法,我们可以计算出不同基因型在群体中的分布情况,并对其进行进化动力学的分析,以此推断基因型的适应性。

化学

1. 分子结构分析：用于描述和分析分子的结构和性质。例如，分子的几何构型可以通过线性方程组求解来确定；

2. 化学反应动力学：用于描述和预测化学反应的速率和动力学行为。化学反应可以用线性微分方程组来建模，其中反应速率常数可以通过线性代数技术求解；

3. 化学量化理论：量子化学方法中的哈密顿矩阵可以通过线性代数技术求解，从而得到分子或原子的能级和波函数。

结语

算术和代数是紧密联系在一起的，各有千秋又互相补充，在解决问题时很多时候也是两种方法同时使用。但是代数式简洁和能够表达一般规律的优势是算术法所不具备的，代数式的功能也更强大，所以解决问题时也要慢慢习惯从代数的角度进行思考，逐渐从算术走向代数。

撰稿 | 郭家豪 张峻诚 谢磊 卢杨杰

编辑 | 郭家豪

封面 | 郭家豪

图片 | 源于网络

zengyong

我已找到五元五次方程的不用求跟的新解法。为代数方程开辟了一条切实可行的新途径
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