如何准确标定一个点在空间的位置——直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标

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如何准确标定一个点在空间的位置——直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标

原创 深度一佳 深度一佳 2024-04-23 09:09 山东

在一维状态下，一个点的位置可以用这个点到原点的距离和方向来标定，比如 -5 或者 +3 等：



在二维平面中，可以采用点的直角坐标确定一个点的位置，如：



也可以采用极坐标的方式，标定空间点和极点、极轴之间的相互关系，比如上图的 A 点，一样可以标定为：



二者是同一个点。

直角坐标系中的原点 O 现在称为极点，x 轴现在称为极轴，采用点的极坐标，一样可以确定 A 点相对于 O 点的位置。

只不过现在的位置由原来直角坐标中的 x, y ，换成了极径、和极角来标定，二者之间的换算关系如下：



如果在三维空间中，一个点的位置可以由它的三维直角坐标来标定：



也可以由一个柱坐标系来标定：



柱坐标可以看成点在二维平面上的极坐标，然后再拔高了一个高度 z 而已。

也可以由球坐标来确定：



把点 A 放到球面上，用它到球心的距离，以及从球心观察点 A 呈现的高度角，再加上点 A 在 xoy 平面上的投影与 x 轴的夹角来标定它的位置。

球坐标一样可以理解为先把点 A 放到我们熟悉的二维平面上，标定它和 x 轴之间的夹角，然后让它沿 z 轴方向上升或者下降，标定它离开球心的距离以及和 z 轴的夹角就可以了。

把 A 点放到球面上，实际就是确定大球的半径 r 和球小圆（平行于 xoy 的平面和大球的截线形成的圆）所在的位置，从而确定从球心观察 A 点的仰角 90°-φ ，球坐标中 OA 和 x 轴的夹角，其实在球小圆所在的平面内就可以直接确定。

球坐标和直角坐标的换算关系，直接从上图中就可以得到：



解析几何的基本思想就是在平面上引进坐标的概念，建立点和坐标之间的对应关系，从而把图形转化为代数方程进行研究。

当然，从二维扩展到三维空间是发展的必然。

笛卡尔从点的轨迹出发建立曲线的方程，把几何转换为代数进行研究；费马反过来，他从方程出发研究数对对应的点的轨迹——两位大师你来我往，解析几何这门学问，就在两位大师手下创立起来。

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