从线性代数的角度看待斐波那契数列

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从线性代数的角度看待斐波那契数列

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-05-06 08:02 陕西



斐波那契数列在数学中是一个美丽的概念，从贝壳图案到帕台农神庙都有它的身影，如果让你写下前几项，你一定会觉得很容易以 0、1、1、2、3、5、8、13 开头，每一项等于前两项之和。但是第 100 或 100,000 项呢？我们能在不进行数千次计算的情况下找到它们吗？

答案是能，在这期推送中，我将解释由简单的线性代数模型如何帮助我们了解斐波那契序列的“长期”值。这是优雅的表达方式，更重要的是能够了解斐波那契数列与所谓的“黄金比例”之间的联系，现在的人们总是喜欢给黄金比例冠以美学原则，因而广泛运用到艺术、建筑、音乐、书籍设计等领域。



建立线性系统的模型



将 A 对角化

这一部分是标准的操作，第一步是找到 A 矩阵的特征值。我们可以通过特征值的定义，求解 Ax = λx 这与求解 Ax-λx = 0 或 (A-λI)x = 0 一致。因为特征向量是非 0 向量，这意味着矩阵 (A-λI) 是奇异的或不可逆的。因此 (A-λI) 的行列式必须为零。这意味着我们可以通过将 (A–λI) 的行列式设置为零（这称为“特征多项式”）并求解 λ 来找到特征值。





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