漫谈泰勒公式

luyuanhong

漫谈泰勒公式

原创 草稿先生 草稿先生 2024-03-24 20:00 辽宁

哈喽，我是草稿先生。今天“漫谈”的是泰勒公式。

泰勒公式是什么呢？简单地说，它就是一个计算工具，能够把像 e^x , ln(1+x) , sin x 这类不易计算的函数近似成多项式：（以按 x 的幂展开为例）



这样计算起来就方便了。

严谨一点的写法是这样：



其中 o(x^n) 叫佩亚诺余项，可以简单理解为近似的误差。

近似结果叫泰勒公式，近似的过程叫展开成泰勒公式。

现在草稿先生解释一下自己理解的泰勒公式：

我们用微元法，把函数 f(x) 全部切成宽为 Δx 的小段，Δx 极小；每一段的函数值相等，比如我们可以让这个值是左端点的函数值：

（类似的，各阶导数值也取左端点的，比如



是 f'(x0) ，而不是 f'(x0+Δx) ）



这个函数的表达式很复杂，所以我们想把它近似成多项式。

首先，我们确定一个“基底” x0 ，f(x0) 和 f(x0) 的各阶导数是要能（轻松）算/表示出来的，以这个基底为起点去近似多项式（用 p(x) 表示）。所以 p(x)=f(x) 。

p(x) 是按 (x-x0) 的幂展开的多项式，即



p(x) 下面的 n 是展开的阶数，一会儿解释；o(x^n) 是极小量，暂时不用管。

（可以理解为现在 x0 的地位类似于正常坐标系里的 y 轴）

下一步，我们确定 p(x) 中的常数项 a0 。因为 p(x0)=f(x0)=a0 ，所以 a0=f(x0) 。

接着，我们把次数+1 ，去考察 a1(x-x0) 中的系数 a1 。注意：此时代 x=x0 没用，因为 a1(x0-x0)=0 。怎么办？

分析：这一步我们要达到的目标是 a1(x-x0)+a0（直线），其斜率就是 a1=f'(x0) 。

直线的表达式 g(x) 就是 g(x)=f'(x0)(x-x0)+g(x0) 。显然 g(x0) 就是第一步求出来的 a0 ，a1=f'(x0) 。

这时候我们要有一个思想：近似宽度（我自己起的名）。画出这条直线，我们已经精确出了 x0 和 x0+Δx 的函数值，但对于 x＞x0+Δx 还没有模拟到，还有误差。

再下一步，我们确定 a2 ，同样是近似，这一次要得到 a2(x-x0)^2+a1(x-x0)+a0 ，由二次函数的求导公式，h(x)=a2(x-x0)^2+a1(x-x0)+a0 在 x=x0 处的一阶导数是 2a2(x-x0)+a1 ，二阶导数是 2a2=f''(x0) ，所以 a2=f''(x0)/2 。

此时近似宽度为 x0～x0+2Δx 。

类似的方法，我们可以扩展到三次函数，四次函数，……，直到 n 次函数。因为



在 x=x0 处的 n 阶导数为



所以



n 可以无限大，我们的近似宽度也可以无限大；向 x0 左边也可以做类似的近似，结果类似（此时让函数／导数值为右端点的函数值即可）。

所以我们就得到了函数 f(x) 按 (x-x0) 的幂展开的带有佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式：



PS：当 n 够大的时候 o(x^n) 就极小，所以也有的写法去掉了 o(x^n) ；

余项的写法有两种：一种是佩亚诺余项，另一种是拉格朗日余项 Rn(x) ；

当“基底”刚好就是 x=0 时泰勒公式也叫麦克劳林公式。

实际应用中 e^x , ln(1+x) 和正余弦函数做泰勒展开的较多。

以 e^x 为例，很显然这个函数唯一好算的值就是 x=0 时 e^0=1 ，所以展开成麦克劳林公式：



又因为 e^x 求导还是本身，所以 x=0 时函数值和各阶导数的值都是 1 ，即



比如我们把 x=0.1 代入 3 阶公式，e^0.1 = 1+0.1+0.01/2+0.001/6 = 1.105017 ，和计算器算的比一下：



已经很接近了！

ln(1+x) 和 e^x 类似，唯一好算的函数／导数值就是 x=0 时 ln(1+0)=0 ，对 ln(1+x) 求一阶导数得到 1/(1+x)=1（x=0 时），二阶导数是 -1/(1+x)^2=-1 ，三阶导数又变回 1 ，……，具体过程不写了，直接上结果：



sinx 的特点是它的各阶导数是 cosx → -sinx → -cosx → sinx → … 一直循环的（cosx 也差不多），麦克劳林公式是这样的：



今天的内容就到此为止了，泰勒公式本质上就是用各阶导数一步一步逼近函数拟合的多项式，在计算函数值时十分好用。

草稿先生