基本不等式、均值不等式链、代数式的最大最小值（一）

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基本不等式、均值不等式链、代数式的最大最小值（一）

原创 深度一佳 深度一佳 2024-04-02 06:09 山东

因为任何实数的平方都是不小于 0 的，所以下式成立：



它表达的意思是：任何数的平方，如果和 0 比较高下的话，都不会落下风。

此时，对 a，b 取正值还是负值都没啥要求，上式都成立，反正只有 a=b 的时候，才能等于 0 。

把上式稍微改造一下就会变成：



此时，对 a，b 的取值也没有特殊要求，依旧是取什么值上式都能成立；当且仅当 a=b 的时候，上式才能取等号。

它表达的意思也很明确：

如果两个数一大一小，大数的平方加上小数的平方，肯定不小于一大一小交叉相乘然后再相加的和。

把上述公式换成汉语表达，更容易理解：



当且仅当二者相等时，等号才会成立。

总是出现的“当且仅当”四个字，就是指两个命题之间互为充分必要条件，在题目的推导计算中，有时可以用双箭头代替。

当 a，b 都是非负实数时，公式可以写成下面的这种样子：



当 a，b 都是负数时，(-a)，(-b) 都是正数，它们也是满足上式的：



如果想再讲究点，可以写成：



上式称为均值不等式，它的意思是说：

两个非负实数的算术平均值，总是不会小于二者的几何平均值。

左侧是两个非负实数之和的一半，称为算术平均值，右侧称为二者的几何平均值。

继续讲究点的话，可以把两个非负实数的平方平均值以及调和平均值一起加入这个不等式，形成一个均值不等式链：



用文字表达更容易记忆：对于两个非负实数 a，b ，它们的



上述公式的证明也很容易，可以通过任意实数的平方不小于 0 推导出来，也可以把上面不等式链两两作差完成证明。

其实，任意不等式的证明，理论上都可以通过做差来完成，区别只是在于证明过程的简便程度而已。

我们有时可以根据上述不等式链的取等条件，计算出某些代数式的最大最小值。

如果：



意味着：只有当 a 和 b 相乘是一个定值实数 C 的时候，两者相加 a+b 才会有最小值。

同时也意味着：只有当 a+b 是定值 C 的时候，二者相乘 ab 才能取到最大值。

举个例子：

如果 a，b 均为正值，且 a+b=10 ，求 ab 的最大值。

从生活的实际经验出发，我们也能观察出如下规律：

1×9=9 、2×8=16 、3×7=21 、4×6=24 、5×5=25 、6×4=24 、……

也就是只有当 a=b=5 的时候，才会有最大值 25 。

理解某些数学公式的时候，如果同时给出一些几何上的直观经验，那么这个公式就很容易得到认同，记忆也会非常深刻。

但数理计算还是必要的：



不过，高中数学中考察基本不等式的题目，考察的真正方向并不是上例中这种利用定值去求取目标代数式的最大最小值，它实际上是利用定值做表面上的掩护，本质上却要求对目标代数式的代数结构进行降幂或者升幂处理，从而把目标代数式中变量的幂次调整为 0 ，最终得到最大最小值（实数值）。

举个小例子：



很明显，目标代数式中变量的次数都是 -1 次，只要变量的次数不为 0 ，理论上就不可能出现确定的实数值，那就谈不上有什么最大最小值。我们必须想办法把 -1 次幂升为 0 次幂，才可以看到确定的实数。

如何升幂呢？从 -1 到 0 ，只需和变量的一次幂相乘就可以：



这种小技巧，在中学会被称为进行“1”的代换，其实质就是对代数结构进行重构处理，从而获得确定的实数值。

类似的例子有很多，我们会慢慢解读！

感谢阅读！文中如有错误，恳请留言指正！

深度一佳