费曼的积木——一个关于能量守恒的绝妙比喻

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费曼的积木——一个关于能量守恒的绝妙比喻

原创 张小燕老师 4 月物语 2024-03-27 17:53 北京

早年间读《费曼物理学讲义》，谈到何为“能量守恒”，费曼用“丹尼的积木”做了一个精彩的类比，令人拍案叫绝。格物致理二十余年，现在学生问我，究竟什么是能量，实话说我也很难三言两语，下一个令双方信服的本质定义。“功是能量转化的量度”、“能量是物体对外做功的本领”，教材中的金科玉律，彷佛是闭环、也是循环。也许只能在无尽的案例中感受、参悟、只可意会不可言传……

但每每想起费曼的经典类比，总还是忍不住想在教学中渗透一番，只是缺少合适的联结点。我曾经写过一篇文章，将“能量”类比为各种“资产”，“功”就是消费+流水等，当时写得很开心（借吐槽工资条，谈谈中学物理中的“功”与“能”），过后反思，喻体很形象，对应到物理本体，缺少实际情景，只是符号运算、倒腾，似乎又有点抽象……

直到上一轮教学，复习到功能关系的时候，突然想到可以把中学里各种常见能量转化过程融合在一起，由浅入深、由简单到复杂地展开，模仿科学家们不断发现新的功、新的能，不断打破“守恒”又完成“守恒”闭环的历程，这才感觉解构到位，不再是隔靴搔痒了。

下面把自己的“东施效颦”记录在此，个人浅见，欢迎讨论、指正！

费曼原文

设想有一个孩子，或许就叫他“淘气的 Dennis ”，他有一堆积木…不会损坏，也不能分成更小的东西……假定他共有 28 块积木. 每天早上他母亲把他和 28 块积木一起留在一个房间里，晚上，他母亲仔细清点积木的数目，于是发现了一条规律: 无论 Dennis 怎样玩积木，积木的数目仍旧是 28 块。

设想有一个可以看作质点的“无所不能的小滑块”，有一天，它在光滑斜面上玩耍，从 h1 高度滑到了 h2 高度，



显然它的动能会变化，我们可以列出动能定理：



即，物体所受合外力（只有重力）的功，对应物体的动能改变量。

稍作移项即得：



在选定地面为零势能面后，人们引入了新的能量——重力势能，于是，对于单一质点+地球组成的系统，当只有重力做功时，系统的动能+重力势能相互转化，但总量保持不变。

这是机械能守恒中我们最熟悉的情况，类似的情景还包括：自由落体、各种抛体运动、光滑曲面上的运动……等等

费曼原文

直到有一天她发现，积木只有 27 块了！但是稍许调查一下就发现地毯下面还有一块。

然而，某一天积木的数目看起来有些变化，只有 26 块了！仔细的调查表明：窗户已经打开，再朝窗外一看，就发现了另外两块积木。

但有一天，小滑块的“动能+重力势能”加一块儿总数变了。原来，现在的斜面装置有了变化，一个轻弹簧一端固定，一端拴着物块，当物块滑动时，弹簧长度变化，对物块做功了。



但我们依然可以相信动能定理，于是对物块列式，有：



不难证明若弹簧前后状态的形变量分别为 x1 和 x2 ，则，



移项后整理可得：  



这个时候虽然物块+地球系统的机械能不守恒了，但如果将弹簧也纳入系统，定义弹性势能：



并将弹性势能也纳入机械能范畴，则 “物块+地球+弹簧”系统的机械能依然守恒！

费曼原文

又有一天，经过仔细的清点表明总共有 30 块积木！这相当使她惊愕，后来才了解到 Bruce 这个孩子曾带着他的积木来玩过，并留了几块在 Dennis 的房间里。

Dennis 的母亲拿走了多余的积木，把窗户关上，并且不让 Bruce 再进来以后，一切都很正常。

又有一天，大家突然发现“物块+地球+弹簧”系统的机械能也不守恒了！经过仔细考察环境，原来是有人施法，小滑块带上了 +q 的电荷，空间里也多了一个水平电场！



自然，电场力也会对滑块做功，动能定理将修改为：



匀强电场对滑块做功：



移项后整理可得：



即，虽然存在电场时，“滑块+地球+弹簧”系统的机械能确实不守恒了，但将电场及电势能 Eqd 纳入考虑，系统的“机械能+电势能”就又守恒了。

费曼原文

直到有一次，她清点时发现只有 25 块积木。然而，在房间里有一个玩具箱，母亲走过去打开这个箱子，但是孩子大声叫喊到：“不，别打开我的箱子”。

……母亲想出了一个办法，她知道一块积木重 3 英两，而箱子的净重是 16 英两，她想核对一下，于是发现了以下式子：



然后又有一天，大家发现这个系统的“机械能+电势能”总数又不对了！查了半天，可能是某个缺德鬼，趁着夜黑风高的时候，偷偷把斜面给磨糙了，斜面和物块一摩擦就发热了！设滑块运动过程受到恒定的 f ，则动能定理的左侧又得多一项：



斜面是不动的，所以 Wf 就是滑动摩擦力在滑块-斜面相对位移上做的功，



高中阶段我们用传送带、板块、子弹打木块等模型多次证明过，两物体间的摩擦生热等于滑动摩擦乘以相对位移，但这其实是以我们“相信”能量守恒为前提的。历史上看，其实是焦耳先通过实验，将“热量”与“功”建立了等价关系。引入“内能”概念，将摩擦生热产生的“热”看作是系统内能U的增加，于是又有：



于是我们又可以放心地说：系统的机械能+电势能+内能是守恒的。

费曼原文

接着，又好像出现了某种新的偏差，但是仔细的研究又指出，浴缸里脏水的高度发生了变化。孩子们正把积木扔进水里，只是她看不见这些积木，因为水很浑浊。不过在她的公式里再添上一项就可以了。水的高度原来是 6 英寸，每一块积木会使水升高 1/4 英寸，因而这个新的公式将是：



在她这个复杂度逐渐增加的世界里，她发现了一系列的项来表示计算积木的方法，这些积木藏在不准她去看的那些地方。结果，她得出了一个用于计算数量的复杂公式。无论孩子们怎么玩耍，这个量是不变的。

大家还可以举出更多的例子，比如，空气阻力不可忽略怎么办？斜面不固定也会移动怎么办？额外有只“看不见的手”在牵着木块运动怎么办？……

总之，尽管系统的复杂度在逐渐增加，但每每发现系统的能量不守恒了，我们总能找到新的功、引入新的能量、或者将新的外物也纳入系统。

这就是费曼说的：“有一个事实……也可以说是一条定律，支配着至今我们所知道的一切自然现象……，这条定律称为能量守恒定律。它指出，在自然界所经历的种种变化之中，有一个称之为能量的物理量是不变的…… 。”



“重要的是认识到，在今天的物理学中，我们不知道能量究竟是什么。（看吧，大科学家其实也不知道能量是什么）

可是有一些公式可以用来计算某种数量，当我们把这些数量全部都加在一起时，结果总是同一个数目。”

张小燕老师