质疑做出选择的可能性——集合的构建，选择公理的应用

luyuanhong

质疑做出选择的可能性——集合的构建，选择公理的应用

原创 围城里的猫 MathSpark 2024-05-05 08:00 陕西

事实上在数学中有一些东西我们可能在学校的时候从未给它一个很好的定义，但我们就是一直在使用，比如说——集合。我们使用数字集、点集，甚至像书籍、杂货、班级中的学生这样简单的东西都可以用集合来描述。集合论有点像数学语言，提供了一个基本框架，帮助我们以结构化的方式讨论数字、形状等。这个概念首先由乔治·康托（George Cantor）在 1800 年代末研究并解释。



康托在他的著作中，提出了了所谓的理解（包含）原则（Comprehension Principle），它断言，根据对象的任何条件，我们都可以构建一个其元素完全满足该条件的集合。形式上，它可以写成下面的样子：

给定与变量 x 相关的任何特定的性质 φ(x) ，{ x : φ(x) } 是一个满足性质 φ(x) 的集合 。

例如，我们令 φ(x) 代表可被 2 整除的自然数这一属性。根据这个原则我们可以构造 {0, 2, 4, 6, …} ， 形成一个集合。这一原则还允许我们形成两个集合的交集或并集，并定义子集和幂集（其元素都是给定集合的所有子集的集合）。然而，这个原则也带给我们一个问题——罗素悖论：

考虑性质“ x  x ”，根据包含原理，必须存在一个集合 R = { x : x  x }。这意味着 x ∈ R <=> x  x 。但问题是，R 可以是 R 的元素吗？假设是，则 R ∈ R 。这意味着 R 必须满足性质 R  R ，这与我们的假设相矛盾。如果我们假设 R  R ，那么从集合 R 的定义来看，就意味着 R ∈ R ，这也是一个矛盾。不论我们假设如何，我们都会得到一个矛盾，这就是所谓的悖论。

事实上，罗素悖论还有一个更容易理解、也更贴近现实生活的版本。即理发师悖论，小城里的理发师放出豪言：他要为城里人刮胡子，而且一定只要为城里所有“不为自己刮胡子的人”刮胡子。

但问题是：理发师该为自己刮胡子吗？如果他为自己刮胡子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他不应该为自己刮胡子；但如果他不为自己刮胡子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮胡子的人刮胡子”他又应该为自己刮胡子。



正如我们所看到的，问题出在“包含原理”上，它需要进行某种修改。根据康托尔对这一原理的版本，对于每个性质，我们都可以形成一个集合，其中包含所有满足该性质的对象。然而，策梅洛提出了一个修改过的版本，该版本表明为了形成一个集合，我们必须同时使用一个性质和一个集合。可以更正式地写成以下形式：

给定任何集合 A 和属性 φ(x) ，集合 { x ∈ A : φ(x)} 是一个集合。

策梅洛更进一步，制定了一系列更保守的公理，并由此发明了他的集合论。这些公理，也称为策梅洛-弗兰克尔集合论公理。其中有一条被称为选择公理，多年来一直被数学家们争议，它的内容如下：

然而，许多数学家多年来一直争论一个有争议的公理。讽刺的是，它被称为选择公理（也标记为 AC ），其中规定如下：

对于每个由两两不相交的非空集合组成的集合 A ，存在一个集合，该集合恰好包含来自 A 中每个集合的一个元素。

听起来很合乎逻辑，对吧？如果你有几个篮子的球，似乎你总是可以从每个篮子中选择一个球并将其放入新的篮子中：



事实证明，这个公理对于证明一些重要的定理和陈述非常有用。比方说下面这个简单的定理，你想证明它，就需要选择公理：

任何满射函数都有右逆函数。

回忆一下满射和右逆的定义：如果对于每个元素 b ∈ B 我们总能找到至少一个 a ∈ A 使得 f(a) = b ，则函数 f : A → B 被称为满射。函数 f : A → B 的右逆是这样的函数 h : B → A 对于任何 b ∈ B 我们有 f(h(b)) = b 。

现在让我们来尝试证明，由于该函数f是满射的，因此对于每个 b ∈ B ，A 都有一个非空子集（我们称之为 Ab ），这样对于 Ab 中的任何元素 a ，我们总是有 f(a) = b 。因此，让我们定义函数 h : b → (Ab 的任意元素) ,这是因为在定义函数的时候，是不考虑多值函数的，因此，我们不能将 h(b) 映射到集合，我们需要从 Ab 集合中选择任意元素来构造函数。只有假设了选择公理，我们才能做到这一点，并声明对于所有 b ∈ B ，我们有 f(h(b)) = b 。因此，h 通过构造是 f 的右逆。

数学中还有哪些地方需要选择公理，例如，每个向量空间都存在一个基，特别是对于无限维向量空间来说，这就依赖于选择公理。如果我们考虑有限维向量空间，这似乎是相当基础的，而且确实不需要选择公理。你可以通过扩展一个线性无关的向量集合直到它张成整个空间，或者通过将一个张成集合化简为一个线性无关的集合（replacement lemma）来构造一个基，这里使用的算法不会涉及选择公理。

然而，对于无限维向量空间来说，情况就大不相同了。这些空间没有有限的基，而且在没有选择公理的情况下，构造或者证明存在一个无限基变得非常困难。挑战在于，没有一个直接的的方法来选择一个线性无关的向量集合，这些向量集合张成整个空间。

如果你对拓扑学有一定的了解，那么一定听说过 Tychonoff 定理是，它断言任意多个紧拓扑空间的笛卡尔积仍然是紧的。那么你还记得证明这个定理的时候究竟是哪一步用了选择公理呢？

那么，如果这个公理如此有用，为什么许多数学家强烈争议这一点呢？嗯，关于它的最令人担忧的一点是，选择公理是独立于其他策尔莫-弗雷尼克尔集合论公理的。它既不能通过这些公理单独证明，也不能通过这些公理单独证伪。这种独立性引发了人们对选择公理的必要性和普适性的质疑。另一个问题是，这个公理并没有明确地构造集合，它只是陈述存在“一个选择函数”。因此，批评者认为，选择公理假设了集合的存在，却没有提供构造它们的手段，这偏离了构造主义的观点。

此外承认选择公理，还会导致巴拿赫-塔尔斯基悖论，你是否觉得有点讽刺，策尔莫-弗雷尼克尔集合论的发展是因为罗素悖论，现在我们又有了另一个悖论？但无论如何，这个悖论可以用以下方式表述：

给定 R^3 中的一个实心球，存在一个将球分解为有限数量的不相交子集的分解，然后将它们放回一起就可以得到两个与原来的球完全相同的球。所以，从技术上讲，这意味着你可以解构一个球，并得到两个与第一个完全相同的球,难以想象！



关于在不同理论中考虑选择公理的观点并没有统一的意见。今天更普遍的观点是接受选择公理，然而，在证明中需要使用选择公理时，明确地指出是一种常见的做法，选择公理提醒我们，数学建构主义和非建构性方法的实用性之间存在微妙的平衡。它还向我们表明，我们应该始终质疑即使是基础和基本的看似显而易见的事物。



围城里的猫