一文读懂正态分布

luyuanhong

一文读懂正态分布

原创 一只刘狮狮 一只刘狮狮 2024-05-18 17:21 广东

本文尝试浓缩书本中关于正态分布的知识，帮助读者在 20 分钟内理解主干知识及用途，并希望写得尽可能有趣。

正态分布亲和且接地气，现在，让我为你介绍它吧～


（德币 10 马克印有高斯头像，以及他的“代表作”——高斯分布曲线。）

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），简单来说，它描述的就是正常分布，比如身高、体重、一些社会中的财富等分布，多数人都会集中在某个区间。尽管在高斯之前，有些数学家已经发现了这一规律，但高斯是将其更严格描述的人。

用时髦的话来讲，正态分布是一个“高性价比”的思考工具，因为它简单易学且应用广。正态分布广泛存在于自然界、社会科学、人文科学等领域，比如动物骨骼大小、考试成绩、产品质量指标、农作物产量等数据分布大多符合这一规律。在统计推断中，它是最重要的一类概率分布，也是许多统计方法的理论基础。


（正态分布的知识关系图）

01 正态分布的背景知识

平均值、方差、标准差三个部分如同土壤，会很大程度影响正态分布这棵树的生长情况。因此，在介绍正态分布前，我需要简单介绍它们（如你已掌握，可直接跳至 02 正态分布的主干知识 进行阅读～）。

由于样本量的不同，平均值、方差、标准差可以分“总体”和“样本”两类。为强化对比，在后文的介绍中，我会在它们前面加上限定词，即“总体”或“样本”。如果没有限定词，那么平均值、方差、标准差所指代的就是总体的平均值、方差、标准差。

● 平均值

平均值（平均数）是我们的小学旧识。温故知新，因为它会在新情景下返场，因此我打算简单提一下。

用简洁、严谨、优美的数学语言，一句话回顾平均值：

“平均值是一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，用于表示一组数据的集中趋势。”


（平均值示例图）

在正态分布中，由于样本量不同，平均值又可以分为总体平均值（μ）和样本平均值（）两类，两者的计算方法是一样的，只是符号有差异。

小贴士：希腊字母“μ”，发音为 mu ，是代表总体平均值的符号；“”这个符号念作“X bar”，用于代表样本平均值。

● 方差

方差是衡量一组数据波动大小的统计量。我们学习方差最重要的，不在于掌握繁杂的计算，而是能够根据其结果，了解所有数据的状态。

方差分为两类：总体方差和样本方差。两者的基本思路一致，但最大的差别在于样本量不同，前者是整体，后者是整体中的部分。



若 x1,x2,x3,……,xn 的平均数为 μ ，则总体方差可表示为：



小贴士：希腊字母“ ∑” 的小写形式为“σ”，英译音为 Sigma ，大小写符号都念“西格玛”。 表示从 1 到 n 的多项求和。


（Excel 里也能看到它的身影～）

我们还是用上面的 1 和 10 两个数字，总体平均值 μ=5.5 的简单例子，来看公式如何使用。


（少量数据好计算，数据多的话，就让计算机/器帮忙吧～）

回到总体方差和样本方差区别的话题，这里举个简单的例子来说明。假设我们想知道中国人身高的标准差，但因人、财、物力有限，我们不可能把所有人都量一遍，因此，只能退而求其次，采取抽样策略，用样本标准差来推测整体，这时，我们就会用到样本方差。

样本方差和总体方差计算上略有区别，主要体现在分母上。不同于总体方差的分母为 n ，样本方差的分母为 n-1 。这里“-1”是为了修正样本方差对总体方差的估计偏差，这种现象被称为“贝塞尔校正”（Bessel's correction）。

这个减去的“1”，不特指任何一个数，它代表那个失去“独立客观”的维度（自由度）。

样本方差的计算公式如下：



因此，在计算样本标准差（s ，即样本方差开根号）时，其分母也是 n?1 而不是 n（即样本大小减 1 ）。这里在后文标准差的部分还会提到。

小贴士：样本标准差的分母为什么为 n-1 在数学领域已被证明，是较复杂的内容，这里不做过多展开，有兴趣的读者可查阅相关资料哦～

在公式的应用过程中，你或许会觉得计算很麻烦（事实也确实如此）。好消息是，计算在方差中并不是最重要的，我们要做的，是关注总体方差（σ^2）的值，并由此了解方差想告诉我们的秘密：数据内部的状态如何。



在投资分析中，尤其是在股票投资中，方差是一个有用的统计工具，它可以帮助投资者了解投资组合的风险水平。同样的回报率，方差越小，则风险越低。

● 标准差

标准差（Standard Deviation）是方差的算术平均数的平方根，也用于反映一个数据集的离散程度。标准差实际上就是方差开根。

整体标准差用 σ 表示，样本标准差用 s 表示。两者的公式如图：



在本小节的末尾，我们来做个三者在“总体”和“样本”符号系统区别上的总结。详见下表：



当我们谈论一个正态分布时，通常是在谈论一个总体的分布，而不是一个样本的分布。因此，使用 μ 来表示正态分布的均值是合适的。

均值、方差、标准差的背景介绍已结束。别走开，下节更精彩，主角闪亮登场～

02 正态分布的主干知识

● 正态分布

正态分布是一种常见的连续概率分布，它在自然科学和社会科学中常用于表示未知的随机变量。若随机变量 X 服从一个数学期望为 μ 、方差为 σ^2 的正态分布，则记为 N(μ，σ^2) 。

正态分布的曲线呈钟型，因此人们又经常称之为“钟形曲线”。正态分布虽有无数种形态，但仍由 μ（平均值）和 σ（标准差）两个数值决定。其中，μ 决定了正态分布的位置，σ 决定了分布的幅度。理解了这一点，你就不需要单独记忆每一个正态分布图啦。

现在，让我们一起来看一些有代表性的正态分布图吧（下面的文字浓度有点高，值得多看几遍～）：

当 μ=0 ，σ=1 时，这个正态分布就是标准正态分布，（见下图红线）。

以正态分布为参考标准，μ 为负则图形向左移动（见下图绿线），反之，μ 为正，则图形向右移动。

μ 不变，σ 越小，则正态分布曲线越陡峭（见下图蓝线），图像越“高瘦”，反之则越平缓（见下图黄线），图像越“矮胖”。


（正态分布图   图源：维基百科）

小贴士：不知道你是否注意到，和各行业一样，数学也有自己的“黑话”（业内术语），比如正态分布定义里的“服从”和“期望”。

数学语言中的“服从”是指“符合”、“遵从”的意思，一般指事物符合数学中的发展规律。

另外，数学术语中，“期望”或“数学期望”是一个重要的概念，特别是在概率论和统计学中。它表示随机变量的预期值或平均值。

除了上面的例子，正态分布其实还有数种形态，但它们的模型主要由 μ（平均值）和 σ（标准差）两个数值决定。

介绍了决定正态分布曲线的关键参数后，我们再来看看关于曲线下方覆盖面积呈现的规律。在距离平均值 ±1 的标准差（即 ±σ）范围内，集中着约全体 68.26% 的数据；距离平均值 ±2 的标准差（即 ±2σ），集中着约 95.45% 的数据；距离平均值 ±3 的标准差（即 ±3σ），包含着 99.73% 的数据。曲线下方覆盖的面积，在统计学上被称“置信区间”。


（正态分布图   图源：维基百科）

这张图是不是有点抽象？哈哈哈，让我举几个例子，让置信区间中的数字走进生活。

（1）有大约 68% 的可能性，动态范围不超过平均值 ±σ 。在一个班上，一班的平均分为 80 分，如果标准差为 5 分，我们就有 68% 的置信度说，考虑到随机性的影响，这个班的平均成绩应落在 75～85 之间，而不是之外。

（2）有大约 95% 的可能性，动态范围不超过平均值 ±2σ ，即两个 σ 的置信度是 95% 。做科学试验时，通常需要有 95% 的置信度，才能得到大家认可的结论；在产品质检中，可以通过抽样检测来估计产品的平均质量水平，并利用 95% 置信区间来评估这个估计的可靠性。

（3）如果我们进一步扩大误差范围到 ±3σ ，那么这个置信度就提高到 99.7% 。在要求极高的实验中，我们甚至会要求达到 99.7% 的置信度，甚至更高；在招聘中，面试官可以使用 3σ 原则来确定录取分数线。通过计算应聘者的平均分数和标准差，可以确定一个合理的分数线范围，从而筛选出合格的应聘者。

小贴士：总体正态分布图 vs 样本正态分布图（符号区别）



03 正态分布的标准化

在02正态分布的主干知识中，我们介绍了影响正态分布形态的土壤（平均值、方差、标准差），以及由此长出的小树（正态分布的图像）。结束前，我想跟大家介绍一个与正态分布有关的常用小工具。

● 标准化与查表求概率

虽然通过观察图也能把握大致情况，但计算数值后会更便于理解，也方便向他人展示。好消息是，Z 转换（标准化）可以实现统一尺度。

对于数据集中的每一个数值X，可使用以下公式进行标准化：



在这个公式中，Z 是转换后的标准值，X 是原始数据点的值，μ 是原始数据的平均值，σ 是原始数据的标准差。

别被公式吓到，放进日常的简单应用场景就豁然开朗了。

小 A 参加了小学模拟考试，数学得了 73 分，英语得了 76 分。数学平均分是 60 分，英语平均分是 68 分。那么，小A的数学成绩和英文成绩，哪一个相对来说比较好呢？（得分均按照正态分布）实际上，仅这些条件是无法进行判断的，还需要能够表示全体离散程度的标准差。现在，我们假定数学是标准差为 8 分的正态分布，英语则是标准差为 6 分的正态分布。



用 Z 变换的公式可得：

数学 :  （得分-平均分）÷ 标准差 =（73-60）÷8 = 1.625

英语 :  （得分-平均分）÷ 标准差 =（76-68）÷ 6 = 1.333

也就是说，当标准差为 1 时，小 A 的数学、英语成绩标准差分别是 1.625 、1.333 。不同学科的成绩转化为标准得分后，变得可比较了。

另外，用“标准得分=1”进行了标准化，“平均值”会变成什么样呢？本来，平均分根据科目的不同而不同，但以标准得分进行分布的时候，平均值为 0 。

因此，在对成绩进行“标准化”时，分布会变为平均值 = 0 、标准差 = 1 的标准正态分布。需注意的是，标准化改变的只是图的位置，比如向左或向右平移，但并不会改变“高矮胖瘦”。

完成 z 变换，我们就通过可以利用 z 值表找到对应的概率值啦。这里会用到“标准正态分布表”。

这个表是前人整理好的数据，用起来也很方便。首先，我们要看最左手列，去查阅 Z 至小数点后 1 位数，之后，我们再查最上一行，看 Z 的第二位小数，左右交叉得到的数，就是我们需要找的数。



放到小 A 的例子中，数学的标准差为 1.625 、英语的标准差为 1.333 。我们来试试查这个表。以数学为例，先看最左列，Z 至小数点后 1 位数为 1.6 ，接着，再看最上行，Z 的第 2 位小数我取 0.02 ，交叉得到的数就是 0.9474（蓝色方框中的数）。英语的查阅方式同理，取值为 0.9082 。



查表后，就是分析数据了。数学取值为 0.9474 ，英语为 0.9082 ，即数学约处于 94.74% 的水平，英语处于 90.82% 的水平。如果参加全国数学、英语模拟考试的人有 1 万人，小 A 数学大概处于 526 名的位置（（1 - 0.9474）× 10000 = 526 名），英语处于 918 名的位置。用图表示更清晰，这里以数学为例：



04 结语

好啦，恭喜看到这的你，在 20 分钟左右的时间，你已经了解了正态分布最核心的知识！最后，请让我为你做个简要的总结。

在这篇文章中，我们先一起回顾了平均值、方差和基本差的背景知识，并在此基础上了解了正态分布的形状、特征以及如何使用。最后，我介绍了一个与正态分布有关的重要工具“标准正态分布表”，并以小A考试成绩分析的例子，来理解这款工具是如何使用的。

别走开，在下一篇的文章中，我将跟你分享更多更有趣的正态分布的例子和故事。

延伸阅读：样本量足够大，二项分布会近似服从正态分布

二项分布描述的是在一系列独立重复的伯努利试验中，成功的次数所服从的概率分布。其中，每次试验只有两个可能的结果，成功或失败，且成功的概率是恒定的。在样本量足够大的情况下，二项分布会近似服从正态分布。

致谢：

鸣谢被我抓来审此稿的 L 女士、W 女士、Z 同学。感谢你们建设性的意见和宝贵的时间。祝你们工作学习都顺利，周末愉快！

参考资料

1. 吴军. 吴军数学通识讲义：原来数学可以这样用[M].第一版. 新星出版社, 2021-4.

2. [日] 本丸谅/著 罗梦迪/译. 新手小白学统计[M]. 第一版. 北京: 北京时代华文书局, 2023 年 5 月.