\(\Large\textbf{数学归纳法原理与自然数的良序性}\)

elim

应该承认，参与及阅读这个版块的朋友一般并不熟悉数学基础理论但关注数学基础问题。举例来说，jzkyllcjl, 老蠢头，范副，APB， hxl268 都是不懂集合论，皮亚诺理论，标准极限理论的.
你叫老蠢头用皮亚诺理论证明没有无穷大自然数但自然数有无穷多，它连要他干啥都闹不明白.
你叫jzkyllcjl 认账自然数系是既存的无穷集，不接受这点就无法谈全能近似, 他直接叫停而称要暂时吃点狗屎。
这个帖子不是为不可理喻的人写的，但愿对持开放心态愿意了解数学基础的朋友有帮助。


注记：\(\mathbb{N}\)是全序集，任意\(a,b\in\mathbb{N},\) 有且仅有三种情况发生
\((1)\quad a=b\)
\((2)\quad \exists d\in\mathbb{N}\,(a=b+d\ne b)\)此时称 \(a > b\) 或 \(b< a.\)
\((3)\quad \exists d\in\mathbb{N}\,(a\ne a+d=b)\)此时称 \(a < b\) 或 \(b> a.\)
用 \(a\le b\) 表示\(a=b\)或\(a< b,\;\; a\ge b\)表示\(a=b\)或\(a> b\).
序关系满足传递性 \((a\le b,\;b\le c)\implies (a\le c)\)
依次称\( \{m\in\mathbb{N}: m< a\}, \;\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\) 为\(a\)的前段及首\(a\)后段.
易见 \(\mathbb{N} = \{m\in\mathbb{N}: m< a\}\cup\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\)

称 \(m\) 是\(S(\subset\mathbb{N})\) 的最小元，如果 \(m\in S\) 且 \((\forall n\in S\,(m\le n))\)

数学归纳法原理：
设 \(S\subset\mathbb{N}.\;\,\) 若 \((1)\;\;n_0\in S;\)
\(\qquad\qquad\qquad(2)\; (n\in S)\implies (n+1\in S);\)
\(\qquad\qquad\;\;\,\)则 \(S\)等于某首\(m\)后段(且\(m\le n_0\))。

自然数的良序性： \(\mathbb{N}\) 的非空子集必含最小元.

注记：数学归纳法原理是皮亚诺公理5的推论. 说白了就是含其任意元素的后继的自然数子集是某首\(a\)后段.

定理：数学归纳法原理与自然数的良序性是等价的.
证明："\(\Rightarrow\)"(反正法)设 \(\varnothing\ne V\subset\mathbb{N}.\;S=\{m\in\mathbb{N}: \forall n\in V\,(m< n)\}\)
\(V\) 没有最小元. 于是\(0\)不是\(V\)的最小元, 故\(0\in S\). 若 \(k\in S\) 则
\(k+1\le n(n\in V).\)但\(k+1\)不是\(V\)的最小元. 故 \(k+1\in S\).
据数学归纳法原理, \(S=\mathbb{N},\;V=\varnothing\) 与假设矛盾. 故\(V\)有最小元.
\(\qquad\)"\(\Leftarrow\)"设\(S\)满足数学归纳法原理的条件(1,2). 则由良序原理, \(S\)有最小元\(a\).
若\(S\ne\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\),则有某\(m\ge a\)使\(a\le k\le m\implies k\in S\)
但\(m+1\not\in S\). 则与\(S\)具有性质\((2)\)不合. 所以\(S=\)首\(a\)后段.\(\small\quad\square\)

注记：上述定理表明数学归纳法原理是自然数系的一个固有性质.
那么为什么要研究这些原理呢？因为即使要建立自然数的加法乘法，
都必须借助归纳法使之在有限陈述原则下成为可能：
加法 \(m+0:=m,\; m+n':=(m+n)'\;(\forall m,n\in\mathbb{N})\). 其中\(k'\)表示
\(k\)的皮亚诺后继.. 类似地定义 \(m\times 0:=0,\;m\times n':=(m\times n)+m\)
加法乘法交换律，结合律，以及乘法对加法的分配律均须用归纳法证明.

春风晚霞

符号∞当然不是自然数！但\(\displaystyle\lim_{k→∞}k\)、\(\displaystyle\lim_{k→∞}(k+1)\)、\(\displaystyle\lim_{k→∞}(k+2)\)，……则肯定是自然数。Cantor称它们为笫二类自然数。Cantor认为〖跟在第一数类后面的是第二数类，第二数类的第一个数α是前面一个数类的极限数，记作\(α=\displaystyle\lim_{n→∞}a_n\).（\(a_n\)表示一个数类）这种生成新数的方式康托称为第二生成原则。〗（参见《康托尔越穷自然数简介》）elim用【首先是皮亚诺白痴，其次才是集论白痴】自况真是入木三分。只可惜elim至今还未认识到他【无穷交就是一种骤变】是错误的！“臭便”之臭，让elim脸都丢尽了！

elim

既然视\(\displaystyle\lim_{k\to\infty}k\)是第一个极限序数。它就大于每个皮亚诺意义上的自然数.因而不是皮亚诺意义上的自然数. 表达式\(\lim_{k\to\infty}k\)也不是Weierstrass 意义上的极限。所以说蠢疯顽瞎首先是皮亚诺白痴，其次才是集论白痴.  

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-16 21:40
既然视\(\displaystyle\lim_{k\to\infty}k\)是第一个极限序数。它就大于每个皮亚诺意义上的自然数.因而不是 ...

很不好意思！虽然\(α=\lim_{k\to\infty}k\)是第一类自然数的极限。但α又是笫二类自然数的笫一个序数，并且笫二类自然数的生成法则仍然是Peano公理。所以elim认为α【大于每个皮亚诺意义上的自然数.因而不是皮亚诺意义上的自然数】的认知是错误的！ elim说【表达式\(\lim_{k\to\infty}k\)也不是Weierstrass 意义上的极限】更是荒唐！elim使尽一切招数都想为其【无穷交就是一种骤变】招魂。“臭便”之臭，并不因elim顽强坚持而有所改变。所以说elim既是皮亚诺法则白痴，又是Cantor集合论白痴.！

elim

\(\alpha\ne 0\)又不是任何自然数的后继，所以不是皮亚诺意义上的自然数。蠢痴帮\(N_{\infty}\) 代孕因种太孬不成，现在又搞自然数假户口，原来蠢痴也会不好意思啊，干吗藏在康托背后呢？康托讲过无穷序数是皮亚诺自然数吗？根据选择公理或良序原则，任何基数都对应一个序数，如果序数都是自然数，那么就没有无穷基数，有谁相信康托会跟蠢痴一样笨？笑话！

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-17 04:25
\(\alpha\ne 0\)又不是任何自然数的后继，所以不是皮亚诺意义上的自然数。蠢痴帮\(N_{\infty}\) 代孕因种太 ...

〖〗中内容引自《算术公理系统之:超穷数理论》第五节.
〖自然数集是一个无穷集，又是一个良序集，对它进行一重抽象就得到一个序数，康托称为超穷序数，记作α。有了这第一个超穷序数，那么运用第一生成原则，不断加1不断生成新数：α，α＋1，α＋2，α＋3，…得到一个无穷集，对这个无穷集运用第二生成原则取极限，得到一个极限数2α，进了一层，这又是一个集合的集合。接着运用第一生成原则：2α，2α＋1，2α＋2，2α＋3，…又得到一个无穷集，对这个无穷集取极限，得到一个极限数3α，再进一层，这又是一个集合的集合。接着运用第一生成原则：
3α，3α＋1，3α＋2，3α＋3，…就这样让它循环往复不断生成下去，而所有这些数汇集在一起，构成了第二数类的全体〗（注：第一生成原则即Peano公理）

elim

楼上的东西就是序数的结构或者生成法则。但自然数的结构/生成法则要求非零的自然数必须是某个自然数的后继，所以极限序数就不可能是自然数。其他基于极限序数是自然数的东西相对于标准分析而言也只能是另类了.
在非标准分析中，正无穷大数的倒数是正无穷小数而不是零. 所以蠢痴主张的也不是非标准分析

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-17 08:03
楼上的东西就是序数的结构或者生成法则。但自然数的结构/生成法则要求非零的自然数必须是某个自然数的后继 ...

elim认为【楼上的东西就是序数的结构或者生成法则。但自然数的结构/生成法则要求非零的自然数必须是某个自然数的后继，所以极限序数就不可能是自然数】是\(\color{red}{是绝对错误的！}\)错误的原因是在第一类自然数集N中，\(α=\displaystyle\lim_{k→∞}k\)是逻辑确定的自然数，否则\(\color{red}{逆用Peano公理}\)，像1，2，3…之类的数都不是自然数！所以在第二类自然数中\(α_0=\displaystyle\lim_{k→∞}(k-)\)是确定自然数\(α-1=\displaystyle\lim_{k→∞}(k-1)\)的后继.于是在第二类自然数中，仍满足『每个确定的自然数α都有确定的后继\(α'\)』，更因为标准分析是Cantor等人创立的。所以Cantor的超穷自然数理论仍属于标准分析！在标准分析中由Cauchy极限定义或Weierstrass极限定义都可证得\(\displaystyle\lim_{k→∞}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff\)\(\color{red}{(n→∞)时}\tfrac{1}{n}=0)\).elim的【无穷交就是一种骤变】主要错在没有遵从〖从命题的题设出发，根据己知的公理、定义、定理逐步推出命题的结论〗逻辑思维范式(参见亚历土多德《工具论》之〔逻辑篇])和忽略\(\forall m∈N\)\(A_n\subset A_m\)这一逻辑认定的事实，从而导致本不产生“骤变”的证明产生“臭便”的结果！所以，无论elim如何辩解，都难掩“臭便”之臭！

elim

什么是确定极限序数为自然数的逻辑？ 当然就是蠢痴反皮亚诺公理的逻辑了。我们知道由于种太孬，蠢痴对\(N_{\infty}\)搞代孕一直没能成功，于是孬种对极限序数开始搞自然数假户口，乃至干脆把序数与自然数混为一谈，彻底抹杀两者的本质区别等等已经不是丑闻而是确凿的劣迹。问题是它到底为什么要这么做？到底是为了分享它吃狗屎掌握狗屎堆逻辑的变态呢，还是为了赢得首席白痴的臭名？

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-17 21:32
什么是确定极限序数为自然数的逻辑？ 当然就是蠢痴反皮亚诺公理的逻辑了。我们知道由于种太孬，蠢痴对\(N_{ ...

   
       由elim给定的单调集合列通项公式\(A_k=\{k+1，k+2，k+3，…\}\)，所以\(A_1=\{2，3，4，…\}\)，\(A_2=\{3，4，5，…\}\)，\(A_3=\{4，5，6，…\}\)，……\(A_∞=\{\displaystyle\lim_{k→∞}(k+1)，\displaystyle\lim_{k→∞}(k+2)，\dislaystyle\lim_{k→∞}(k+3)，…\}\)\(=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，k+3，…\}≠\phi\).易证\(\forall m∈N，A_n\subset A_m\).所以\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k\)\(=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，k+3，…\}≠\phi\).
由于上述证明没达到elim的预期效果，于是elim提出了【什么是确定极限序数为自然数的逻辑】的质疑。春凤晚霞的回答是：\(\color{red}{Peano公理}\)是确定【极限序数为自然数的逻辑】！这是因为若\(\displaystyle\lim_{k→∞}k\)不是自然数，递用Peano公理，则\(\displaystyle\lim_{k→∞}\(k-1)\)、\(\displaystyle\lim_{k→∞}(k-2)\)……5、4、3、2、1都不是自然数，这与“经逻辑认定的事实”(亚历士多德语，参见亚历士多德《工具论》之〔逻辑篇〕）不符。所以\(\color{red}{极限序数是自然数！}\)
        证明板限序数是自然数涉及如下四个种：一是elim单调递减集合列的通项公式；二是Peano公理；三是周民强单调集合列极限集定义；四是亚历士德首创的演译三段论.elim认为【我们知道由于种太孬，蠢痴对\(N_∞\)搞代孕一直没能成功，于是孬种对极限序数开始搞自然数假户口，乃至干脆把序数与自然数混为一谈，彻底抹杀两者的本质区别等等】，老夫用亚历土多德、Peano、周民强先生他们理论证明了\(N_∞≠\phi\)，因此亚历土多德、Peano、周民强先生们不是“孬种”。所以致使【蠢痴对\(N_∞\)搞代孕一直没能成功】的孬种就只有elim你了！