复平面上的三角函数（六）虚数的诞生

luyuanhong

复平面上的三角函数（六）虚数的诞生

原创 欧阳克 欧阳克的数学课 2024-05-18 04:29 北京

一般认为卡尔达诺是第一位公开承认虚数存在的欧洲数学家。而虚数概念的确立，应该归功于另一位意大利数学家，拉斐尔·邦贝利（1526 或 1528 至 1572）。

在 1545～1554 年之间的著作《算术的伟大技艺》（手稿，生前未出版）的第 38 个问题中，卡尔达诺指出：

“9 的平方根为 +3 或 -3，这是因为正数相乘和负数相乘都得到一个正数。因此，-9 的平方根既不是 +3 ，也不是 -3 ，而是第三种难以解释的数。”

在《大术》中，卡尔达诺更详细地阐述了这种思想。

他举了这样一个例子：

“把长为 10 的线段分成两部分并使其乘积为 40 ，这种情形显然是不可能的。

然而我们可以这样做，把 10 分成相等的两部分，则每部分都是 5 ，我们将它平方得 25 ；

如果你愿意用所得的 25 减去40，则结果为 -15 ，就像我在第六本书中关于运算的那一章告诉你的那样；

用 5 加上或减去 -15 的平方根，所得两部分的乘积即为 40 。

则这两部分就是  与  。”

在书中卡尔达诺分别使用几何的方法和代数运算的方法证明了这一点。

他把  这样的“第三种难以解释的数字”称为 “微妙的负数” 或 “绝对的负数”。

然而这种 “微妙的负数” 是无法用几何表示出来的，卡尔达诺无法做出一条长度为  的线段。问题虽然解决了，但似乎只是一种 “诡辩式” 的解决，“即钻牛角尖，又毫无用处” 。而且他找不到 “第三种难以解释的数字”的运算规则，“这真是微妙，因为我们对纯负数或其他数的运算并不能施加到它上面……如前所述，算术就是这样奇妙地发展着，它的结果虽然精致，但是没用。”

尽管卡尔达诺不愿意接受这种“第三种难以解释的数”，可这种情况却在三次方程求解中普遍存在。

比如在前文《复平面上的三角函数（四）守秘与背叛——三次方程解法之争》 我们提到，卡尔达诺在研究塔尔塔利亚给他的解法时发现了复数根的存在，他写信询问塔尔塔利亚，后者却不愿意解答，就是指 1539 年 8 月 4 日，卡尔达诺询问 x^3 = 9x + 10 的解法。这个方程按塔尔塔利亚的解法过程中出现了  ，无法处理。当然当时塔尔塔利亚即不愿也没有能力回答这个问题。

读者可以自行尝试一下，按照塔尔塔利亚和卡尔达诺的解法，得到的解的形式是  。

本来，像这样的说不清楚的“诡辩式” 的解，只要按照以往对二次方程的非实数根的处理一样，都抛掉就好了。

但是，对三次方程来说，负数的平方根成了绕不过去的坎。

还是上面那个方程 x^3 = 9x + 10 ，用 “瞪眼法” 一看就知道，至少有一个实根 -2 （实际上三个根都是实根），这是塔尔塔利亚和卡尔达诺二人无法解释的（卡尔达诺后来知道某些三次方程有二重实根乃至三个实根并得到了部分规则，但无法给出正确的判断法则）。

在这之后的著述中卡尔达诺再无一次提到这种“第三种难以解释的数”。可见虽然他意识到了虚数的存在，但无法理解，放弃了进一步研究。

情况很快发生了变化。

1545 年《大术》出版时，博洛尼亚有一位 19 岁（也有说 17 岁）的青少年，拉斐尔·邦贝利，虽然最高学历只是中学（塔尔塔利亚有话说），但非常热爱数学。邦贝利很快就接触到了卡尔达诺的这本数学杰作。

邦贝利对《大术》非常欣赏，但是，他很快就发现卡尔达诺对一些问题的解释含糊不清，于是邦贝利产生了写一部更全面的代数书的想法。从 20 岁起，他利用工作间歇研究数学，花了 25 年时间，写成了数学论著《代数学》。

在这本《代数学》中，邦贝利建立了虚数的运算法则，使其成为了一种“数”，能够进行代数运算，不再是什么说不清道不明的“诡辩”或是“无用的东西”。

邦贝利的突破发生在解方程 x^3 = 15x + 4 时。

根据卡尔达诺书中的解法，邦贝利得到的解是

。

这是一个无法用几何表示出来的，“虽然精致，但是没用” 的 “微妙的负数”。

（根号下的负数被卡尔达诺称为 “绝对的负数”， “绝对的负数”与实数混合（和差）的形式被他称为“微妙的负数”，则“绝对的负数”属于“微妙的负数”。）

可是，邦贝利使用“瞪眼法”得出，此方程的解为 x = 4 。

这样就产生了一个不可思议的等式：

。

面对这个不可能存在的式子，邦贝利开始继续卡尔达诺未完成的研究，即，明明一个不存在的“数”，为什么会等于 4 。

（这里有个美妙的误会。此方程有三个实根，邦贝利没能找到另外两个。但这个等式恰好是正确的对应。）

这个时候邦贝利产生了一个天才的想法，即把  看成

。

看到这里可能有的读者会想：这也算天才的想法？我上我也行啊！这不就是同指数幂的运算法则，(ab)^n = a^n b^n 嘛。

请注意，第一，在当时还没有指数的概念。

在欧洲数学史上，是先有对数再有指数，指数的普遍概念是晚于对数出现的。对数的概念和运算规律是由数学家纳皮尔在 1614 年出版的著作《奇妙的对数定律说明书》中确立的。现代形式的指数运算是在 1637 年由笛卡尔确定的。而把对数作为指数运算的逆运算来定义则是 18 世纪由欧拉完成的。也就是说此时连对数运算都没搞清楚，更别说指数运算了。

（所以卡尔达诺是用 res（或 posiotio ，偶尔也用 quantitas），quadratum ，cubum ，quadratum quadrati ，primum relatum（或 primum nomen）和cubum quadrati 来表示 x 的一至六次乘方的；用 radix 表示平方根。因为当时根本没有对应的代数符号。

我们在文章中所列代数式（包括邦贝利的），都是用现代数学符号重写的。）

第二，教科书上（国内应该是高中？）所说的 (ab)^n = a^n b^n 是有条件的，是正整数指数的运算性质。如果要将正整数指数扩展到有理数指数幂，那对于分数指数幂，要求底是正实数，即 a 和 b 要大于 0 。

关于对数和指数的性质及运算法则，我们将在今后的文章里单独讨论。

这里仅就第二点举一个例子，请问“根号负一”乘以“根号负一”等于多少？

如果根据 (ab)^n = a^n b^n ，则有

。

对吗？

不对。

一个数先开方然后再平方不应该还是它自己吗？

所以  。

可见对负实数的分数指数次幂来说， 不一定成立 。

（本系列文章的读者都是爱好数学的天才少年，如果少年你在刚才的问题上理解错了，请不要灰心，因为即便是强如欧拉这样的怪物，都曾经试图证明  。）

但邦贝利给出的运算，却是合理的。

所以，解决虚数问题的第一步，邦贝利天才般地找到了“一种说得通的论证方式”，即将根号负一单独拿出来，视为一种新的 “方根” ，则



就变成了

。

（现在我们知道，“根号负一”就是虚数单位。）

因为深受卡尔达诺的影响，邦贝利给他发明的新的“单位方根”即“根号负一”起名字时，“既不是正数，也不是负数，所以在相加时我称它为‘负正数’，相减时我称它为‘负负数’”。

接下来是解决问题的第二步，邦贝利假设一个和形式的“微妙的负数” （即实数与“负正数”的倍数之和）的三次方仍然是和形式的“微妙的负数”， 一个差形式的“微妙的负数” （即实数与“负负数”的倍数之和）的三次方仍然是差形式的“微妙的负数”，即假设

，

（这个假设是基于，正数的立方还是正数，负数的立方还是负数，所做的猜测。）

则只要能够求得 n 的值，那么



就有可能成立了！

然后就是顺理成章的第三步，邦贝利惊喜地发现，只需要让，使用他的“新的单位方根”，重新定义的，“微妙的负数”，满足多项式乘法运算法则，就可以找到这个 n 。这不巧了吗！

所以，经过尝试之后，他得到了

  。

（读者请自行验算，别忘了  ）。

就这样，邦贝利解决了这个塔尔塔利亚、卡尔达诺以及费拉里都没能解决的问题，即

方程 x^3 = 15x + 4 的一个实数解为

  。

（有了复数的运算法则后，有些原本以为是 “微妙的负数”，化简后其实是实数。）

这真是一个伟大的发现。

邦贝利随后使用几何构造的方法，证明了，只要将 “绝对的负数” 视为多项式中的一项，而“绝对的负数”又视为带有系数的“新的单位方根”即“负正数”或“负负数”，则四则运算都可以正常进行，不合理的数变得合理了。即



这正是我们在《复平面上的三角函数（一）》 的开篇所说的，复数在代数形式下的乘法法则。

18 世纪下半叶，欧拉确定了以 i 来表示“根号负一”，复数的代数形式终于确定下来并沿用至今。如今我们知道，形如 a + bi 的数就是复数，卡尔达诺所谓“微妙的负数”就是化简之后虚部不为 0 的复数（本系列文章中我们称之为虚数），所谓“绝对的负数”就是实部为 0 虚部不为 0 的复数（本系列文章中我们称之为纯虚数），而邦贝利的“负正数”就是 i ，“负负数”就是 -i 。

（未完待续）

欧阳克