用复数的观点来解决一道平面几何题

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用复数的观点来解决一道平面几何题

原创 强子锅锅 强子数学 2024-04-08 00:00 广东

公众号《金磊将几何构型》发表了一篇用全等及勾股定理解一道较难的四边形边长问题的文章，据说也是在网上看到的一题，笔者尝试用复数的观点来解决此题，以期为大家带来解决平面几何不一样的视角。

题目：已知凸四边形 ABCD 中，BC=2√3 ，AC=√62 ，∠BCD=60°，∠BAD=90°，AB=AD ，求 CD 。



分析：解决一个复杂的几何问题，重新绘图可以让你清楚的看清题目的真相。本题可以将 C 看成坐标原点，点 B 为定点，点 A 在以 C 为圆心半径为 √62 的圆上运动，将点 B 绕点 A 逆时针旋转 90° 即可画出点 D， 根据 ∠BCD=60° 便可确定点 D 。通过绘图，可以看见本题是由 A 点的位置来确定 CD 的长度，所以一种简单的思路是引入角度参数 ∠ACD=θ 来解决问题，由于题设中有明显的旋转 90° 的痕迹，所以可以尝试用复数来解决此题。

解：以 C 为圆心，CD 方向为 x 实轴建立如图所示复数坐标系，





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