111和101形式整数中的素数和素因子

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 13:02

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-6-20 13:16 编辑

111和101形式整数中的素数和素因子
众所周知正整数10,100,1000……之中没有素数，它们都是仅含素因子2和5的合数。
清一色正整数11,111,1111……之中多是合数，内有为数不多的少量素数，最小的是11，其次是19个1，23个1，317个1……
清一色正整数的英文名称是Repunit，循环单位整数（repeated unit的简称，如11，111，1111）。
清一色正整数等于(10^n-1)/9，1个个数就等于指数n。
当指数n是合数时，清一色正整数都是合数；
当指数n是素数时，清一色正整数可能是素数，也可能是合数。

清一色正整数之中不会含有素因子2和5，其余素因子是不是都有？
11=11
111=3×37
1111=11×101
11111=41×271
111111=3×7×11×13×37
1111111=239×4649
11111111=11×73×101×137
111111111=3^2×37×333667
1111111111<10>=11×41×271×9091
11111111111<11>=21649×513239
111111111111<12>=3×7×11×13×37×101×9901
1111111111111<13>=53×79×265371653
11111111111111<14>=11×239×4649×909091
111111111111111<15>=3×31×37×41×271×2906161
1111111111111111<16>=11×17×73×101×137×5882353
11111111111111111<17>=2071723×5363222357<10>
111111111111111111<18>=3^2×7×11×13×19×37×52579×333667
1111111111111111111<19>=1111111111111111111<19>
11111111111111111111<20>=11×41×101×271×3541×9091×27961
111111111111111111111<21>=3×37×43×239×1933×4649×10838689
1111111111111111111111<22>=11^2×23×4093×8779×21649×513239
11111111111111111111111<23>=11111111111111111111111<23>

当n=2时，清一色数11是一个素数，之和指数n等于4,6,8,10……时各个清一色数都含有素因子11；
当n=3时，清一色数111=3*37，之和指数n等于3k时各个清一色数都含有素因子积3*37；
当n=4时，清一色数1111=11*101，之和指数n等于4k时各个清一色数都含有素因子积11*101；
当n=5时，清一色数11111=41*271，之和指数n等于5k时各个清一色数都含有素因子积41*271；
……

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 13:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-6-20 13:22 编辑

当清一色正整数的指数n是合数2m时，清一色数(10^n-1)/9=(10^2m-1)/9=(10^m-1)/9*(10^m+1)，成为一个小清一色数与101型整数的乘积。
清一色数(10^2m-1)/9的各个素因子一分为二，一组在(10^m-1)/9之中，一组在(10^m+1)之中。
在(10^m+1)之中现仅发现两个素数11和101，其余都是合数。
11=11
101=101
1001=7×11×13
10001=73×137
100001=11×9091
1000001=101×9901
10000001=11×909091
100000001=17×5882353
1000000001<10>=7×11×13×19×52579
10000000001<11>=101×3541×27961
100000000001<12>=11^2×23×4093×8779
1000000000001<13>=73×137×99990001
10000000000001<14>=11×859×1058313049<10>
100000000000001<15>=29×101×281×121499449
1000000000000001<16>=7×11×13×211×241×2161×9091
10000000000000001<17>=353×449×641×1409×69857
100000000000000001<18>=11×103×4013×21993833369<11>
1000000000000000001<19>=101×9901×999999000001<12>
10000000000000000001<20>=11×909090909090909091<18>

当m=2时（0的个数比m少1），101是一个素数，之和指数m等于6,10,14……时各个101型数都含有素因子101；
当m=3时（0的个数比m少1）1001=7*11*13，之和指数m等于6k+3时各个101型数都含有素因子积7*11*13；
当m=4时（0的个数比m少1）10001=73*137，之和指数m等于8k+4时各个101型数都含有素因子积73*137；
当m=5时（0的个数比m少1）100001=11*9091，之和指数m等于10k+5时各个101型数都含有素因子积11*9091；
……
当m=8时（0的个数比m少1）100000001=17*5882353，之和指数m等于16k+8时各个101型数都含有素因子积17*5882353；
当m=16时（0的个数比m少1）100……01=353*449*641*1409*69857，之和指数m等于32k+16时各个101型数都含有素因子积353*449*641*1409*69857；
……

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 13:28

对于10^2^n+1型整数常常称之为以10为基的广义费马数；
二级指数n=0时即素数11，n=1时即素数101，n=2时即10^4=1=10001=73*137，n=3时即10^8+1=100000001=17*5882353，
除F0(10)=11，F1(10)=101以外的已知的各个广义费马数都是合数。
F1(10)=101
F2(10)=73×137
F3(10)=17×5882353
F4(10)=353×449×641×1409×69857
F5(10)=19841×976193×6187457×834427406578561
F6(10)=1265011073×15343168188889137818369×515217525265213267447869906815873
F7(10)=257×15361×453377×P116
F8(10)=10753×8253953×9524994049×73171503617×P225
F9(10)=1514497×302078977×3611707318387778163302401×C473
F10(10)=1856104284667693057×315827195278624446663038977×1567629031101501414376301131777×C950
F11(10)=106907803649×3835256936681473×9027276203313319937×969220351349023606432543884535631873×C1967
F12(10)=458924033×728157653661622273×50628372428722965086209×C4047
F13(10)=3635898263938497962802538435084289×C8159
F14(10)=1702047085242613845984907230501142529×C16348
F15(10)=65537×5767169×C32757
F16(10)=8257537×C65530
F17(10)=175636481×C131064
F18(10)=639631361×C262136
F19(10)=70254593×212733001729×13462517317633×C524256
F20(10)=167772161×16578924424467537039283942007504897×C1048534
F21(10)=C2097153
F22(10)=101702694862849×C4194290

F m (10)的因式分解情况总结
完全分解的 m= 2、3（各 2 个因素）、4（5 个因素）、5（4 个因素）、6（3 个因素）、7（4 个因素）、8（5 个因素）
已知四个质因数 m= 11
已知三个质因数 m= 9, 10, 12, 19
已知两个质因数 m= 15、20、26、29、39、40、46、48、54、58、67、73、99，102, 122, 143, 181, 208, 241, 289, 656, 724, 1628
仅知一个素因数 m= 13, 14, 16, 17, 18, 22, 23, 27, 28, 30, 35,并且有 281 个m值，其中 35<m<15502313
合数但未知因素 m= 21, 24, 25
素性不明的 m= 31，32，33，34，36，42，44，45，47，49，…

已知 379 个质因数
已知330 个F m (10) 为合数

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 13:29

假定m=31是一个素数，即10^2^31+1=10^ 2147483648+1是一个2147483649位素数（21.47亿位）；
再假定m=32是一个素数，即10^2^32+1=10^ 4294967296+1是一个4294967296位素数（42.95亿位）；

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 13:39

A004023
Indices of prime repunits: numbers n such that 11...111 (with n 1's) = (10^n - 1)/9 is prime.
数字 n，使得 11...111（有 n 个 1）= (10^n - 1)/9 为素数
2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207

猜想：有无穷多个清一色素数！

朱容仟 · 发表于 2024-6-20 15:21

看我帖子，111等清一色合数，始终位于表中三条合数中间的一条上。

朱容仟 · 发表于 2024-6-20 16:13

yangchuanju 发表于 2024-6-20 13:17
当清一色正整数的指数n是合数2m时，清一色数(10^n-1)/9=(10^2m-1)/9=(10^m-1)/9*(10^m+1)，成为一个小清一 ...

新发现的质数排列表
一，质数在右高左低的45度无数条对角线上，
      前期呈现对角线隔一条跳三条的规律，
二，第七列都是合数，7的倍数
三，所有对角线连续三条合数的中间一条奇数都是3的倍数
   这条对角线奇数±2或±4后，分布在对角线质数串上
四，斜对角质数最多有五个，5的倍数不是。
五，对角线偶数串±1或±5后，也分布在对角线质数串上
五，从1开始的所有正整数与142857相乘
得到下面的质数排列表
   1    [2]       [3]    4       【5】    6       【7】
   8       9       10    【11】 12    【13】 14
15    16    【17】 18    【19】 20       21
22 【23】 24    (25)    26       27       28
【29】  30    【31】 32       33       34       35
36 【37】 38       39       40    【41】 42
【43】 44       45       46    【47】    48    49
50    51       52 【53】 54       (55)    56
57    58    【59】 60    【61】    62    63
64    (65)    66    【67】    68       69    70
【71】 72 【73】    74       75       76    77
78 【79】 80       81       82    【83】 84
85)    86       87       88    【89】    90    91
92    93       94       95)       96    【97】 98
99    100 【101】 102 【103】    104 105

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 20:05

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-6-20 20:30 编辑

广义费马数素因子记录
Record Primes of this Type

Rank Prime Digits Who When Comment
序号素因子位数发现者年份费马数号数
1 11×2^15502315+1 4666663 L4965 Jan-2023 Divides GF(15502313, 10) [GG]
以10为基广义费马数15502313素因子
2 37×2^10599476+1 3190762 L4965 Jun-2022 Divides GF(10599475, 10)
3 17×2^8636199+1 2599757 L5161 Feb-2021 Divides GF(8636198, 10)
4 135×2^4162529+1 1253049 L5178 Jul-2023 Divides GF(4162525, 10)
5 9×2^3497442+1 1052836 L1780 Oct-2012 Divides GF(3497441, 10)
6 1005×2^3420846+1 1029781 L2714 Aug-2017 Divides GF(3420844, 10)
7 357×2^3273543+1 985438 L5237 Jul-2022 Divides GF(3273542, 10)
8 169×2^2545526+1 766282 L2125 Jan-2015 Divides GF(2545525, 10)
9 7×2^2167800+1 652574 g279 Apr-2007 Divides Fermat F(2167797), GF(2167799, 5), GF(2167799, 10)
10 3×2^2145353+1 645817 g245 Feb-2003 Divides Fermat F(2145351), GF(2145351, 3), GF(2145352, 5), GF(2145348, 6), GF(2145352, 10), GF(2145351, 12)
11 25×2^2141884+1 644773 L1741 Sep-2011 Divides Fermat F(2141872), GF(2141871, 5), GF(2141872, 10)
12 45×2^2014557+1 606444 L1349 Feb-2012 Divides GF(2014552, 10)
13 657×2^1998854+1 601718 L2520 Oct-2013 Divides GF(1998852, 10)
14 175×2^1962288+1 590710 L2137 Jul-2013 Divides GF(1962284, 10)
15 135×2^1515894+1 456332 L1129 Jan-2013 Divides GF(1515890, 10)
16 17×2^388355+1 417938 g267 Sep-2005 Divides GF(1388354, 10)
17 107×2^1337019+1 402485 L2659 Jan-2012 Divides GF(1337018, 10)
18 1389×2^1335434+1 402009 L1209 Jan-2015 Divides GF(1335433, 10)
19 15×2^1276177+1 384169 g279 Feb-2006 Divides GF(1276174, 3), GF(1276174, 10)
20 29×2^1152765+1 347019 g300 Sep-2005 Divides GF(1152760, 10)

数据来自网络

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 20:50

一些较小的费马素数（第2行）和广义费马素数（第3行及以下各行）
A002496 A037896 A258805 A272137
k^2+1形素数 k^4+1形素数 k^8+1形素数 k^16+1形素数
1 2 1 2 1 2 1 2
2 5 2 17 2 257 2 65537
3 17 3 257 3 65537 3 197352587024076973231046657
4 37 4 1297 4 37588592026706177 4 808551180810136214718004658177
5 101 5 65537 5 92170395205042177 5 1238846438084943599707227160577
6 197 6 160001 6 147578905600000001 6 37157429083410091685945089785857
7 257 7 331777 7 284936905588473857 7 150838912030874130174020868290707457
8 401 8 614657 8 3503536769037500417 8 150838912030874130174020868290707457
9 577 9 1336337 9 11007531417600000001 9 847622907049404564614012839370162177
10 677 10 4477457 10 11763130845074473217 10 2435149272410363768730097404205858817
11 1297 11 5308417 11 47330370277129322497 11 5580113648647376991977566450378407937
12 1601 12 8503057 12 50024641296100000001 12 204751406252581656212043048442748993537
13 2917 13 9834497 13 76872571987558646017 13 2240163950570166819970668427091971670017
14 3137 14 29986577 14 416806419029812551937 14 5909392323982386240329733592955192672257
15 4357 15 40960001 15 557556054479199010817 15 10935381021254406083552368642995613925377
16 5477 16 45212177 16 1084617963136880107777 16 19779852014625588779340810000000000000001
17 7057 17 59969537 17 1258687259015914045697 17 46266633827487255682344440438302741364737
18 8101 18 65610001 18 1456726949598219510017 18 123375119142171663622742410000000000000001
19 8837 19 126247697 19 4435164151219413385217 19 205595595551655774086834624880887401086977
20 12101 20 193877777 20 4576794457040100000001 20 365698328077754498546241794891999342493697

yangchuanju · 发表于 2024-6-20 21:07

已知的51个梅森素数即以2为基的梅森素数（略），
已知的以10为基的广义梅森素数有9个，即清一色素数（略），
以6,12,14,18等偶数为基也有一些广义梅森素数存在，
例以6为基的广义梅森素数有
A273947
Prime factors of generalized Fermat numbers of the form 6^(2^m) + 1 with m >= 0.
1 7 8 2753 15 3360769 22 4926056449 29 46179488366593
2 17 9 18433 16 4709377 23 51808043009 30 52787303940097
3 37 10 65537 17 13631489 24 152605556737 31 58460259483649
4 257 11 80897 18 50307329 25 916326983681 32 96479889653761
5 353 12 98801 19 376037377 26 1268357529601 33 420013441810433
6 1297 13 145601 20 2483027969 27 6597069766657 34 728254654709761
7 1697 14 763649 21 3191106049 28 40711978221569

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