\(\Large\textbf{数学归纳法原理与自然数的良序性}\)

elim

应该承认，参与及阅读这个版块的朋友一般并不熟悉数学基础理论但关注数学基础问题。举例来说，jzkyllcjl, 老蠢头，范副，APB， hxl268 都是不懂集合论，皮亚诺理论，标准极限理论的.
你叫老蠢头用皮亚诺理论证明没有无穷大自然数但自然数有无穷多，它连要他干啥都闹不明白.
你叫jzkyllcjl 认账自然数系是既存的无穷集，不接受这点就无法谈全能近似, 他直接叫停而称要暂时吃点狗屎。
这个帖子不是为不可理喻的人写的，但愿对持开放心态愿意了解数学基础的朋友有帮助。


注记：\(\mathbb{N}\)是全序集，任意\(a,b\in\mathbb{N},\) 有且仅有三种情况发生
\((1)\quad a=b\)
\((2)\quad \exists d\in\mathbb{N}\,(a=b+d\ne b)\)此时称 \(a > b\) 或 \(b< a.\)
\((3)\quad \exists d\in\mathbb{N}\,(a\ne a+d=b)\)此时称 \(a < b\) 或 \(b> a.\)
用 \(a\le b\) 表示\(a=b\)或\(a< b,\;\; a\ge b\)表示\(a=b\)或\(a> b\).
序关系满足传递性 \((a\le b,\;b\le c)\implies (a\le c)\)
依次称\( \{m\in\mathbb{N}: m< a\}, \;\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\) 为\(a\)的前段及首\(a\)后段.
易见 \(\mathbb{N} = \{m\in\mathbb{N}: m< a\}\cup\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\)

称 \(m\) 是\(S(\subset\mathbb{N})\) 的最小元，如果 \(m\in S\) 且 \((\forall n\in S\,(m\le n))\)

数学归纳法原理：
设 \(S\subset\mathbb{N}.\;\,\) 若 \((1)\;\;n_0\in S;\)
\(\qquad\qquad\qquad(2)\; (n\in S)\implies (n+1\in S);\)
\(\qquad\qquad\;\;\,\)则 \(S\)等于某首\(m\)后段(且\(m\le n_0\))。

自然数的良序性： \(\mathbb{N}\) 的非空子集必含最小元.

注记：数学归纳法原理是皮亚诺公理5的推论. 说白了就是含其任意元素的后继的自然数子集是某首\(a\)后段.

定理：数学归纳法原理与自然数的良序性是等价的.
证明："\(\Rightarrow\)"(反正法)设 \(\varnothing\ne V\subset\mathbb{N}.\;S=\{m\in\mathbb{N}: \forall n\in V\,(m< n)\}\)
\(V\) 没有最小元. 于是\(0\)不是\(V\)的最小元, 故\(0\in S\). 若 \(k\in S\) 则
\(k+1\le n(n\in V).\)但\(k+1\)不是\(V\)的最小元. 故 \(k+1\in S\).
据数学归纳法原理, \(S=\mathbb{N},\;V=\varnothing\) 与假设矛盾. 故\(V\)有最小元.
\(\qquad\)"\(\Leftarrow\)"设\(S\)满足数学归纳法原理的条件(1,2). 则由良序原理, \(S\)有最小元\(a\).
若\(S\ne\{n\in\mathbb{N}: n\ge a\}\),则有某\(m\ge a\)使\(a\le k\le m\implies k\in S\)
但\(m+1\not\in S\). 则与\(S\)具有性质\((2)\)不合. 所以\(S=\)首\(a\)后段.\(\small\quad\square\)

注记：上述定理表明数学归纳法原理是自然数系的一个固有性质.
那么为什么要研究这些原理呢？因为即使要建立自然数的加法乘法，
都必须借助归纳法使之在有限陈述原则下成为可能：
加法 \(m+0:=m,\; m+n':=(m+n)'\;(\forall m,n\in\mathbb{N})\). 其中\(k'\)表示
\(k\)的皮亚诺后继.. 类似地定义 \(m\times 0:=0,\;m\times n':=(m\times n)+m\)
加法乘法交换律，结合律，以及乘法对加法的分配律均须用归纳法证明.

春风晚霞

elin认为【如果\(H_∞≠\phi\) 则有自然\(m∈H_∞=\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞ A_n\subset A_m\)
只有孬种的才认为\(m∈A_m\). 所以\(H_∞≠\phi\)只能是孬种犯的孬。】elim至今也没有明白他的【无穷交就是一种“臭便”】臭在哪里？事实上因为\(H_∞=\displaystyle\lim_{k→∞}\{k+1，k+2，…\}≠\phi\) ，若有自然数\(m∈H_∞=\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞ A_n\)，则必有\(H_∞\color{red}{\supset A_m}\)。(\(\color{red}{这时A_m是H_∞的真子集}\))所以m∈\(H_∞\)，但\(m\notin A_m\)。elim自许自己精通集合论，为什么连子母集的关系都弄不清呢？同样是m∈\(H_∞\)但\(m\notin A_m\)，为什么elim会演译岀\(H_∞=\phi\)呢？elim自己给出了很好的诠释，那就是【只有孬种的才认为\(m∈A_m\). 所以\(H_∞=\phi\)只能是孬种犯的孬。】

elim

如果\(N_{\infty}\ne\varnothing\), 则有自然数\(m\in N_{\infty}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\subset A_m\) ,
\(m\in A_m\) 显然不成立. 孬种的 \(N_{\infty}\ne\varnothing\)就此破产。

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-23 07:56
如果\(N_{\infty}\ne\varnothing\), 则有自然数\(m\in N_{\infty}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\ ...

根据你给出的单减集合列通项公式，谁也不会怀疑\(\forall k∈N但k\notin A_k\)，e大掌门人你能因此“证明”\(N=\phi\)吗？

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-23 08:53
如果\(N_{\infty}\ne\varnothing\), 则存在自然数\(m\in N_{\infty}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_ ...

根据你elim给出的单减集合列通项公式，我们有\(A_1=\{2，3，4，5，…\}\)，所以根据elim的“臭便”思想，\(\forall j∈\(A_1\)都有j\(\notin A_j\)，所以\(A_1=\phi\)；根据\(\forall k∈N恒有k\notin A_k\)，\(N=\phi\)！由于\(A_1\)都不是空集，这说明\(\forall m∈H_∞，m\notin A_m\)，与\(H_∞=\phi\)间汲有必然联系！所以你的【\(\forall m∈H_∞，m\notin A_m\)，所以\(H_∞=\phi\)】纯属扯淡！elim不管你是好种还是孬种，纯种还是杂种，数学中都没有戈陪尔效应，谎言千遍仍是谎言！

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-23 14:30
如果\(N_{\infty}\ne\varnothing，\)那么就存在某自然数\(m\)为\(N_{\infty}\)的成员。由\(N_{\infty}\subs ...

在春风晚霞敦促下，elim对命题“\( N_∞≠\phi\)会直接导致 \(m∈A_m\)的谬论”？elim的\(\color{red}{严格证明}如下：【如果\(N_∞≠\phi\)，那么就存在某自然数m为\(N_∞\)的成员。由\(N_∞\subset A_m\), 所以m也是\(A_m\)成员，即\(N_∞≠\phi\)\(\implies m∈A_m\)。】。老夫认为elim这个奇葩证明是\(\color{red}{绝对错误}\)的，是elim【无穷交就是一种”臭便”】的继续！为降低阅读的难度，我们先看一个与之等价的命题：\(A_1=\{2，3，4，5，…\}≠\phi\)，则对\(\forall m∈A_1\nRightarrow
m∈A_m\)，更是\(\nRightarrow A_1\subset A_m\)。这是因为对\(\forall m，A_m\)是\(A_1\)的\(\color{red}{真子集}\)。同理，因为\(N_∞=\{\displaystyle\lim_{n→∞}(n+1)，\displaystyle\lim_{n→∞}(n+2)，\displaystyle\lim_{n→∞}(n+3)，…\}\)，所以对\(\forall m∈H_∞\)，必存在\(\displaystyle\lim_{n→∞}(n+i)∈N_∞\)，使得\(m=\displaystyle\lim_{n→∞}(n+i)(i∈N)\)\(\implies N_∞\color{red}{\supset}A_m\)，注意这时\(A_m\)不再是elim所给单减集合列的元素，仅仅是\(N_∞\)的\(\color{red}{真子集}\)。所以\(\nRightarrow N_∞\subset A_m\)。故此elim的这个证明是\(\color{red}{绝对错误}\)的！

春风晚霞

elim 发表于 2024-6-23 14:30
如果\(N_{\infty}\ne\varnothing，\)那么就存在某自然数\(m\)为\(N_{\infty}\)的成员。由\(N_{\infty}\subs ...

在春风晚霞敦促下，elim对命题“\( N_∞≠\phi\)会直接导致 \(m∈A_m\)的谬论”？elim的\(\color{red}{严格证明}如下：【如果\(N_∞≠\phi\)，那么就存在某自然数m为\(N_∞\)的成员。由\(N_∞\subset A_m\), 所以m也是\(A_m\)成员，即\(N_∞≠\phi\)\(\implies m∈A_m\)。】。老夫认为elim这个奇葩证明是\(\color{red}{绝对错误}\)的，是elim【无穷交就是一种”臭便”】的继续！为降低阅读的难度，我们先看一个与之等价的命题：\(A_1=\{2，3，4，5，…\}≠\phi\)，则对\(\forall m∈A_1\nRightarrow
m∈A_m\)，更是\(\nRightarrow A_1\subset A_m\)。这是因为对\(\forall m，A_m\)是\(A_1\)的\(\color{red}{真子集}\)。同理，因为\(N_∞=\{\displaystyle\lim_{n→∞}(n+1)，\displaystyle\lim_{n→∞}(n+2)，\displaystyle\lim_{n→∞}(n+3)，…\}\)，所以对\(\forall m∈H_∞\)，必存在\(\displaystyle\lim_{n→∞}(n+i)∈N_∞\)，使得\(m=\displaystyle\lim_{n→∞}(n+i)(i∈N)\)\(\implies N_∞\color{red}{\supset}A_m\)，注意这时\(A_m\)不再是elim所给单减集合列的元素，仅仅是\(N_∞\)的\(\color{red}{真子集}\)。所以\(\nRightarrow N_∞\subset A_m\)。故此elim的这个证明是\(\color{red}{绝对错误}\)的！

elim

如果\(N_{\infty}\ne\varnothing，\)那么就存在某自然数\(m\)为\(N_{\infty}\)的成员。由\(N_{\infty}\subset A_m\), 所以\(m\)也是\(A_m\)的成员，即\(N_{\infty}\ne\varnothing\implies m\in A_m\). 孬种自我打脸，着实干净利落。

春风晚霞

elim 发表于 2024-7-1 20:56
如果\(N_{\infty}\ne\varnothing，\)那么就存在某自然数\(m\)为\(N_{\infty}\)的成员。由\(N_{\infty}\subs ...

       elim真不要脸，更不是男人。【孬种就没读懂过周民强书里那点集论，更没有据此证明过蠢氏非空．不会求交集转而去求极限，不顾极限由交集定义的事实，无证明孬啼\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,…\}≠\phi\)之猿声而巳．由于超穷自然数或超穷序数都不是自然数，自然不是自然数的子集的元素．所以孬种’证得‘蠢氏非空’的方式都是无效的孬种方式。】elim的这段论述好像他很懂周民强的点集集合论一样？【\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,…\}≠\phi\)之猿声】正是根据周民强《实变函数论》P9页定义1.8和Cantor《超穷数理论基础》啼出来的！试问e大教主，你的\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1,n+2,…\}=\phi\)之狼嚎又典岀何处？
       e大掌门人认为【更没有据此证明过蠢氏非空．不会求交集转而去求极限，不顾极限由交集定义的事实。】告诉你e大掌门，春风晚霞发表在《欢迎文明赐教，拒绝青楼艳词》主题下关于求递减集合列极限集的三篇帖文，都是根据集合论基础知识写成的。都用Cantor的超穷实数理论证明了的！你说我【更没有据此证明过蠢氏非空．不会求交集转而去求极限，不顾极限由交集定义的事实】纯属放狗屁！e大掌门人，难道你眼睛瞎。你看不到我发表在《欢迎文明赐，拒绝青楼艳词》主题下的三篇帖子都是根据若\(A\subseteq B，则A=A\cap B\)的求交运算求得的！再者交集的定义可是\(A\cap B=\{x∈A且x∈B\}\)，\((A\cap B)^c=\{x\notin A\color{red}{或}x\notin B\}\)你的“臭便”交则是与你那个臭得不可再臭的【无穷交就是一种骤变】有什么关系？你那个“臭便”是求交集的定义吗？你不会否认你的\(\mathbb{N}=\bigcup_{m=1}^n A_m^c\)就是根据你的“臭便”思想得到的吧？正因为如果承认【\(\mathbb{N}=\bigcup_{m=1}^n A_m^c\)这条简单事实]，才会产生\(\forall B\subseteq\mathbb{N}\implies B=\phi\)。证明如下:因为\(B\subseteq \mathbb{N}\)，所以可设\(B=\displaystyle\bigcup_{n=1}A_m)\cup α\)，因为B\(\subseteq\mathbb{N}\)且\(\displaystyle\bigcup_{n=1}A_m≠\displaystyle\bigcup_{n=1}A_m^c\)，所以\(B=\phi\)。另一方面设
\(B_m=A_m\)，于是\(B=B\cap\mathbb{N}\)\(=\displaystyle\bigcup_{m=1}^∞(A_m\cap A_m^c=\)\(\displaystyle\bigcup_{m=1}^∞(A_m\cap A_m^c)=\displaystyle\bigcup_{m=1}^∞\phi=\phi\)！

elim

孬种就没读懂过周民强书里那点集论，更没有据此证明过蠢氏非空．不会求交集转而去求极限，不顾极限由交集定义的事实，无证明孬啼\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}\ne\varnothing\)之猿声而巳．由于超穷自然数或超穷序数都不是自然数，自然不是自然数的子集\(N_{\infty}\)的元素．所以孬种’证得‘蠢氏非空’的方式都是无效的孬种方式．

关于从德摩根律\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c=\big(\bigcap _{n=1}^\infty A_n\big)^{\color{red}c}\)如何得到\(\displaystyle B\cap\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c=B\cap\bigcap _{n=1}^\infty A_n\) 的问题大家都知道．就是把德摩根等式右边那个\(\color{red}c\) 扔了，然后两边交上\(B\).  孬种戏证非空亦空，跟显摆孬种有多蠢多孬根本没有区别．

\((0)\;\;\)对任意自然数\(m,\;\,m\in A_m^c.\;\color{grey}{(A_m^c:=\{n\in\mathbb{N}: n\le m\})}\)
\((1)\;\;\)对任意自然数\(m,\;\, A_m^c\subset\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\)
\(\qquad\)只有孬种不认(0) 和 (1).
\(\therefore\;\;\mathbb{N}\subset\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\) (因为(0),(1)说明任何自然数都是所论并集的成员)
但显然\(\mathbb{N}\supset\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\), 所以 \(\color{red}{\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c=\mathbb{N}},\;\)进而\(\color{red}{N_{\infty}=\varnothing}\)(德摩根),
只有孬种才否认这个只需\(A_n\)的定义和集论基本概念就证得的结果.

孬种的定义千头万绪, 但归根到底, 大半年弄不懂几十年前，仅一晚上就该弄懂的基本概念, 还那么积极地丢人现眼者, 非孬种莫属.把蠢疯顽瞎的问题归咎为种孬, 是说孬种反数学已经尽力了, 但不成功，很无奈，种太孬。