\(\Large\textbf{单调降集列的极限集必存在但未必非空}\)

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【例1】令\(A_n=\{m\in\mathbb{N}:\,m>n\}\;(n\in\mathbb{N})\),
\(\qquad\) 则 \(\{A_n\}\) 单调降,  \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n = \varnothing.\)
【例2】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (0,{\small\frac{1}{n}}) = \varnothing,\;\;\lim_{n\to\infty}[0,{\small\frac{1}{n}})=\{0\},\;\;\lim_{n\to\infty}\big((1+{\small\frac{1}{n}}\big)^n,\;e)=\varnothing\)

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对于集合序列\(\{A_n\}\;\displaystyle\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_n:=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k,\;\;\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n:=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k\),
分别是属于\(\{A_n\}\)的无穷多项的元素的集合以及至多不属于\(\{A_n\}\)的有限多项的元素的集合。
依次称它们为\(\{A_n\}\)的上, 下极限.     显然 \(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subset\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_n.\)
当 \(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}} A_n\)时称\(\{A_n\}\)收敛，称此公共值 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n\) 为\(\{A_n\}\)的极限.
称集列\(\{A_n\}\)单调降，如果 \(A_{n+1}\subset A_n\,(\forall n).\) 此时 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{m=1}^\infty A_m,\)
称集列\(\{A_n\}\)单调升，如果 \(A_{n+1}\supset A_n\,(\forall n).\) 此时 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{m=1}^\infty A_m.\)

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注意Weiestrass 极限释义不适用于集合序列的极限. 单调数列的与单调集列本质上没有共性。