极点在椭圆上、外、内，极线方程形式都一样（导致解题极为简单）

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极点在椭圆上、外、内，极线方程形式都一样（导致解题极为简单）

原创 邵勇老师 数学教学研究 2024-05-30 10:48 北京

邵勇讲数学......

首先，什么是极点与极线？任取一点，它可以在圆锥曲线上，也可以在圆锥曲线外或内，过这点作圆锥曲线的割线，产生两个交点，过这两个交点作圆锥曲线的切线，两条切线相交于一点。随着割线绕任取之点运动，交点将描绘出一条直线。若任取之点称为极点，则这条直线就称为极点的极线。

反之，任意作一条直线，它可以与圆锥曲线相交、相切或相离。在直线上且位于圆锥曲线外任取一点。过这点作圆锥曲线的两条切线，连接两个切点可得一直线。让任取之点在其所在直线上运动，则连接两切点的直线也跟着运动，但它将绕着一个不动的点转动。若开始时的直线称为极线，则这个不动的点就称为这条极线的极点。

今天要证明下面的结论：





如果把极点都放在一条过原点的直线上，如下图所示，那么，我们可以从中发现很多知识是互相关联的：

① 若把这条直线位于椭圆内部的线段当成一条直径（下图中 BB'），那么，DD' 就是 BB' 的共轭直径。两条互为共轭的直径的斜率的乘积等于 e^2-1 。

② 直线与椭圆交点 B 处的切线平行于 DD' ，即直径端点处的切线与直径的共轭直径平行。

③ 若把点 B 当成极点，则点 B 处椭圆切线就是极点 B 的极线，其方程如图中蓝色字所示。

④ 若把位于直线上且位于椭圆内部的点 A 当成极点，则它的极线与直径 DD' 平行，极线与直线的交点 C 到原点的距离 OC 满足 OC·OA=OB^2 。

⑤ 若把位于直线上且位于椭圆外部的点 C 当成极点，则它的极线与直径 DD' 平行，极线与直线的交点A到原点的距离 OA 满足 OA·OC=OB^2 。

⑥ 若点 A 在直线上向着点 B 运动，则点 C 同时也向着点 B 运动，它们同时到达点 B ，这时它们各自的极线与点 B 处的极线重合。

⑦ A、C 两点调和分割线段 B'B ；B、B' 两点也调和分割线段 AC 。

⑧ 若把包括椭圆、直线在内的整个图形按 a∶b 的比例沿 y 轴上下拉伸，则椭圆变成圆，椭圆两条共轭直径变成圆的两条互相垂直的直径。

观察下图中的四条平行线。







邵勇老师