步增函数h^b=c与筛法剩余函数S(x)

小草

步增函数h^b=c与筛法剩余函数S(x)

              文/施承忠


步增函数h^b=c，h=初始步长，b=步数，c=路长,h>1.
这里b与C都是特定的整数，只有h随b,C而变.它只有3种情形：(1)h随b,C变小；(2)h随b,C不变；(3)h随b,C变大.第1种情形b,C趋向无穷，h趋向1，第3种情形C趋向无穷，b趋向1,h趋向C.而S(x)就是第一种情形.特别是b=C时，就是自然数的情形.

步增函数h^b=c与自然数
1^1=1
1.4142135623730951^2=2
1.4422495703074083^3=3
1.4142135623730951^4=4
1.379729661461215^5=5
1.3480061545972777^6=6
1.3204692477561237^7=7
1.2968395546510096^8=8
1.2765180070092417^9=9
1.2589254117941673^10=10

计算结果从第三项开始h愈来愈小，也就是说只要上一项的b+1，一定大于下一项.
自然数本来是密度均匀的，但在步增函数中却是愈来愈密的.那是因为当h不变时步长是不断增大的，所以自然数愈来愈稀.但h愈来愈小在h^b=c中素数就愈来愈密.

自然数在h^b=c中愈来愈稀

当h=1.2589254117941673时
1.2589254117941673^11=12.589254117941681957604589360423
1.2589254117941673^12=15.848931924611148384368269353787
1.2589254117941673^13=19.952623149688814469425048733888
1.2589254117941673^14=25.118864315095826132729538038389
1.2589254117941673^15=31.622776601683827070717075707918
1.2589254117941673^16=39.810717055349770399317840998728
1.2589254117941673^17=50.118723362727289123627924812602
1.2589254117941673^18=63.095734448019405753303166895413
1.2589254117941673^19=79.432823472428257592053515806115
1.2589254117941673^20=100.00000000000014230556481649579
C远远大于b

自然数在h^b=c中愈来愈密

1^1=1
1.4142135623730951^1=1.4142135623730951
1.4142135623730951^2=2
1.4422495703074083^1=1.4422495703074083
1.4422495703074083^2=2.0800838230519038770733618629089
1.4422495703074083^3=3
1.4142135623730951^1=1.4142135623730951
1.4142135623730951^2=2
1.4142135623730951^3=2.8284271247461904047932451031612
1.4142135623730951^4=4
1.379729661461215^1=1.379729661461215
1.379729661461215^2=1.903653938715878952408949276225
1.379729661461215^3=2.6265278044037681936690788292874
1.379729661461215^4=3.6238983183884794182817044267581
1.379729661461215^5=5
1.3480061545972777^1=1.3480061545972777
1.3480061545972777^2=1.8171205928321397468506722509173
1.3480061545972777^3=2.4494897427831782760521252273511
1.3480061545972777^4=3.3019272488946270035405039506583
1.3480061545972777^5=4.4510182535424144110942894727813
1.3480061545972777^6=6
1.3204692477561237^1=1.3204692477561237
1.3204692477561237^2=1.7436390342696231951274308497017
1.3204692477561237^3=2.3024217239402233335000269710557
1.3204692477561237^4=3.040277081828704211064670734702
1.3204692477561237^5=4.0145923912125319887078174276307
1.3204692477561237^6=5.3011457948718699849278913553471
1.3204692477561237^7=7
1.2968395546510096^1=1.2968395546510096
1.2968395546510096^2=1.6817928305074289150512502992922
1.2968395546510096^3=2.1810154653305149857532764202924
1.2968395546510096^4=2.8284271247461895223932277755999
1.2968395546510096^5=3.6680161728186839945300734636268
1.2968395546510096^6=4.7568284600108828157935412499624
1.2968395546510096^7=6.1688433016317610990002610082385
1.2968395546510096^8=8
1.2765180070092417^1=1.2765180070092417
1.2765180070092417^2=1.6294982222188464419306692090189
1.2765180070092417^3=2.0800838230519043116126590040355
1.2765180070092417^4=2.6552644562143810600819972118786
1.2765180070092417^5=3.3894928917292596330794147829297
1.2765180070092417^6=4.3267487109222259668615801301828
1.2765180070092417^7=5.5231726412962455367835222483698
1.2765180070092417^8=7.0504293324354527537966145233064
1.2765180070092417^9=9
1.2589254117941673^1=1.2589254117941673
1.2589254117941673^2=1.5848931924611137107412223003893
1.2589254117941673^3=1.9952623149688800272578514298123
1.2589254117941673^4=2.5118864315095808259958668495247
1.2589254117941673^5=3.162277660168380457023164886552
1.2589254117941673^6=3.9810717055349742072884959442501
1.2589254117941673^7=5.0118723362727253462761744739589
1.2589254117941673^8=6.3095734448019360858932526210301
1.2589254117941673^9=7.9432823472428201073389469741636
1.2589254117941673^10=10

【】【】【】

步增函数h^b=c与素数

2^1=2
1.7320508075688772^2=3
1.709975946676697^3=5
1.6265765616977856^4=7
1.615394266202178^5=11
1.5334062370163875^6=13
1.498919872071562^7=17
1.4449213230933524^8=19
1.4167822033014115^9=23
1.400360331291396^10=29

素数在h^b=c中愈来愈稀

当h=1.400360331291396时
1.400360331291396^11=40.610449607450519816419075982381
1.400360331291396^12=56.869262666181952570055328149826
1.400360331291396^13=79.637459507511977271103736267308
1.400360331291396^14=111.52113917914460662847826498351
1.400360331291396^15=156.16977940690082350736663897173
1.400360331291396^16=218.69396402795186993100179985556
1.400360331291396^17=306.25035191761132017053569069775
1.400360331291396^18=428.86084426945280059074260452523
1.400360331291396^19=600.55971395907871160087077748969
1.400360331291396^20=841.00000000000148344126864209933

π(40)=12>11
π(56)=16>12
π(79)=22>13
π(111)=29>14
π(156)=36>15
π(218)=47>16
π(306)=62>17
π(428)=82>18
π(600)=109>19
π(841)=146>20
C远远大于b


素数在h^b=c中愈来愈密

2^1=2
1.7320508075688772^1=1.7320508075688772
1.7320508075688772^2=3
1.709975946676697^1=1.709975946676697
1.709975946676697^2=2.924017738212866101918642829809
1.709975946676697^3=5
1.6265765616977856^1=1.6265765616977856
1.6265765616977856^2=2.6457513110645901246135479435674
1.6265765616977856^3=4.303517070658849419810457926914
1.6265765616977856^4=7
1.615394266202178^1=1.615394266202178
1.615394266202178^2=2.609498635278873119863571943684
1.615394266202178^3=4.2153691330919001638525568297334
1.615394266202178^4=6.8094831275223012763221349635178
1.615394266202178^5=11
1.5334062370163875^1=1.5334062370163875
1.5334062370163875^2=2.3513346877207575584179435501563
1.5334062370163875^3=3.6055512754639894516379904070121
1.5334062370163875^4=5.5287748136788724655705704833972
1.5334062370163875^5=8.4778577823542987510926430654189
1.5334062370163875^6=13
1.498919872071562^1=1.498919872071562
1.498919872071562^2=2.246760782891027791765249119844
1.498919872071562^3=3.367714385266421862726457595599
1.498919872071562^4=5.0479340155371041212143790715491
1.498919872071562^5=7.5664486087945623746411958076082
1.498919872071562^6=11.341500180730393704235753738521
1.498919872071562^7=17
1.4449213230933524^1=1.4449213230933524
1.4449213230933524^2=2.0877976299298440756351650705858
1.4449213230933524^3=3.0167033137893956184187375552005
1.4449213230933524^4=4.3588989435406741547661986117789
1.4449213230933524^5=6.2982660287310068817536688837778
1.4449213230933524^6=9.1004988834279207243261242504804
1.4449213230933524^7=13.149504887452247400097738362092
1.4449213230933524^8=19
1.4167822033014115^1=1.4167822033014115
1.4167822033014115^2=2.0072718115916021070499178923323
1.4167822033014115^3=2.8438669798515657771651666809567
1.4167822033014115^4=4.029140125610232186969002163352
1.4167822033014115^5=5.7084140245721906461658192765282
1.4167822033014115^6=8.0875793990900660299781437788464
1.4167822033014115^7=11.458338560417929383416734022039
1.4167822033014115^8=16.23397015180243760553900081716
1.4167822033014115^9=23
1.400360331291396^1=1.400360331291396
1.400360331291396^2=1.961009057454548359109063628816
1.400360331291396^3=2.7461192933624795529235007819998
1.400360331291396^4=3.8455565234187761473213386645637
1.400360331291396^5=5.3851648071345064059759522698963
1.400360331291396^6=7.541171173377644036333871527388
1.400360331291396^7=10.560356962676243105958228320216
1.400360331291396^8=14.788304974808704219192139218775
1.400360331291396^9=20.708955653761316618508357803658
1.400360331291396^10=29
【】【】【】
步增函数h^b=c与孪生素数

3^1=3
2.23606797749979^2=5
2.2239800905693152^3=11
2.0305431848689306^4=17
1.961009057454548^5=29
1.8569375973313509^6=41
1.7905186905416268^7=59
1.7037555893340746^8=71
1.6699457962021294^9=101
1.5956527233198223^10=107

孪生素数在h^b=c中愈来愈稀

1.5956527233198223^11=170.73484139522101002073654539166
1.5956527233198223^12=272.43351463786233349155334755296
1.5956527233198223^13=434.70927955549570458349599510329
1.5956527233198223^14=693.64504577512467225224057932617
1.5956527233198223^15=1,106.8166063083804828671758787194
1.5956527233198223^16=1,766.0949320715709279148047935042
1.5956527233198223^17=2,818.0741880013387252083685595472
1.5956527233198223^18=4,496.6677526016330329013025886043
1.5956527233198223^19=7,175.1201453032207061685973260919
1.5956527233198223^20=11,449.000000000003208115115464123

T(170)=12
T(272)=18
T(434)=23
T(693)=30
T(1,106)=40
T(1,766)=55
T(2,818)=80
T(4,496)=117
T(7,175)=163
T(11,449)=227
C远远大于b

孪生素数在h^b=c中愈来愈密

3^1=3
2.23606797749979^1=2.23606797749979
2.23606797749979^2=5
2.2239800905693152^1`=2.2239800905693152
2.2239800905693152^2=4.946087443248699439792855796951
2.2239800905693152^3=11
2.0305431848689306^1=2.0305431848689306
2.0305431848689306^2=4.1231056256176600711531011876164
2.0305431848689306^3=8.3721440285926880926402133731998
2.0305431848689306^4=17
1.961009057454548^1=1.961009057454548
1.961009057454548^2=3.845556523418774738889085884304
1.961009057454548^3=7.5411711733776398934112647575836
1.961009057454548^4=14.788304974808693386780464273717
1.961009057454548^5=29
1.8569375973313509^1=1.8569375973313509
1.8569375973313509^2=3.4482172403827302971293680189308
1.8569375973313509^3=6.4031242374328484442468386756131
1.8569375973313509^4=11.890202136872692017810101106704
1.8569375973313509^5=22.079363387828470989708060036935
1.8569375973313509^6=41
1.7905186905416268^1=1.7905186905416268
1.7905186905416268^2=3.2059571811789019171031435904782
1.7905186905416268^3=5.7403262539769724452289581293794
1.7905186905416268^4=10.278161447552570532694985719079
1.7905186905416268^5=18.403240176247259991054894608692
1.7905186905416268^6=32.951345502097301161565261050566
1.7905186905416268^7=59
1.7037555893340746^1=1.7037555893340746
1.7037555893340746^2=2.9027831081870998548974846383652
1.7037555893340746^3=4.9456329451983091412370405838412
1.7037555893340746^4=8.4261497731763602606463453155744
1.7037555893340746^5=14.356099772615268691767690867365
1.7037555893340746^6=24.459285228630901469432458446993
1.7037555893340746^7=41.672643919396267125694640693114
1.7037555893340746^8=71
1.6699457962021294^1=1.6699457962021294
1.6699457962021294^2=2.7887189622531638995968610943444
1.6699457962021294^3=4.6570095078038358324395989464235
1.6699457962021294^4=7.7769534504303633786633533390155
1.6699457962021294^5=7.7769534504303643100652548997827
1.6699457962021294^6=21.687737555775325277123094639037
1.6699457962021294^7=36.217346160402049346570579900039
1.6699457962021294^8=60.481004970160734425084456914545
1.6699457962021294^9=101
1.5956527233198223^1=1.5956527233198223
1.5956527233198223^2=2.5461076134379653768445321035773
1.5956527233198223^3=4.0627035472476228381189397928768
1.5956527233198223^4=6.4826639792067717296203678839967
1.5956527233198223^5=10.344080432788601194365221680503
1.5956527233198223^6=16.505560112818417574549364078758
1.5956527233198223^7=26.337141943937741405450594081242
1.5956527233198223^8=42.024932267304975728013727000797
1.5956527233198223^9=67.057197619656258886927703008978
1.5956527233198223^10=107

小草

h,b定理

如果h趋向1，那么b一定趋向无穷，甚至b可以大于c.
如果不是，那么这无穷个h没有b点，这不可能，否则它是一个随机点，我们要求的b点是一个系统机率点，它的系统机率是当h不变时b点内内点会愈来愈多，导致h必须趋向1.
证毕.

上面的证明直接证明了素数是无穷的，同时也证明了孪生素数是无穷的，同时也证明了一切筛法剩余函数S(x)是无穷的，因为它们的原始步长都很大.



【】【】【】

当h=10时，C=10^k,S(10^k)=g^k,k趋向无穷g趋向10.

因为b,C趋向无穷，lnb趋向lnC.
C^(lnb/lnC)=b,b^(lnC/lnb)=C,C^s=b,b趋向无穷s趋向1,b^s=C,C趋向无穷s趋向1.


π(10^1)=4
π(10^2)=5^2=25
π(10^3)=5.517848352762241^3=168
π(10^4)=5.920903333606808^4=1229
π(10^5)=6.257225896326716^5=9592
π(10^6)=6.543494855348049^6=78498
π(10^7)=6.788789979921198^7=664579
π(10^8)=6.9994920043687445^8=5761455
π(10^9)=7.182112615818092^9=50847534
π(10^10)=7.341860891196403^10=455052511
π(10^11)=7.482779026171154^11=4118054813
π(10^12)=7.608048430335953^12=37607912018
π(10^13)=7.720182475889248^13=346065536839
π(10^14)=7.82119055595112^14=3204941750802
π(10^15)=7.912693717135135^15=29844570422669
π(10^16)=7.996012061874258^16=279238341033925
π(10^17)=8.072230612613458^17=2623557157654233
π(10^18)=8.14224906429305^18=24739954287740860
π(10^19)=8.206819619445842^19=234057667276344607
π(10^20)=8.266576023961035^20=2220819602560918840
π(10^21)=8.322056055152128^21=21127269486018731928
π(10^22)=8.373719097370445^22=201467286689315906290
π(10^23)=8.421959999238418^23=1925320391606803968923
π(10^24)=8.467120093376796^24=18435599767349200867866
π(10^25)=8.509496030644694^25=176846309399143769411680
π(10^26)=8.549346916863126^26=1699246750872437141327603
π(10^27)=8.586900120114812^27=16352460426841680446427399
π(10^28)=8.62235602867245^28=157589269275973410412739598
π(10^29)=8.655891974375077^29=1520698109714272166094258063

【】【】【】
π(10^1)=(10^1)^0.602059991327962390427477789449=4
π(10^2)=(10^2)^0.69897000433601880478626110527552=25
π(10^3)=(10^3)^6.9077552789821370520539743640531=168
π(10^4)=(10^4)^0.77238797072161352141029577363768=1229
π(10^5)=(10^5)^0.79638183401815845231838599260607=9592
π(10^6)=(10^6)^0.81580976529612208599196176468705=78498
π(10^7)=(10^7)^0.8317923734155669734770580086092=664579
π(10^8)=(10^8)^0.84506652177066438688039200665073=5761455
π(10^9)=(10^9)^0.85625221059859335346277538783242=50847534
π(10^10)=(10^10)^0.8658061515166294851229430881651=455052511
π(10^11)=(10^11)^0.87406292026893762565691893617531=4118054813
π(10^12)=(10^12)^0.88127326851409942651395701917203=37607912018
π(10^13)=(10^13)^0.88762756553459735769780440453898=346065536839
π(10^14)=(10^14)^0.89327286719343877845056026003578=3204941750802
π(10^15)=(10^15)^0.89832435547444781713435463031352=29844570422669
π(10^16)=(10^16)^0.90287344057382829117640049841006=279238341033925
π(10^17)=(10^17)^0.90699356060680756269184830045074=2623557157654233
π(10^18)=(10^18)^0.91074438293575653240813820968084=24739954287740860
π(10^19)=(10^19)^0.9141748880180776276495372327171=234057667276344607
π(10^20)=(10^20)^0.91732566410945278492683735380329=2220819602560918840
π(10^21)=(10^21)^0.92023063675869040737121693706134=21127269486018731928
π(10^22)=(10^22)^0.92291838806845000603875932034957=
201467286689315906290
π(10^23)=(10^23)^0.92541317437333649796455026995759=
1925320391606803968923
π(10^24)=(10^24)^0.92773571963004330831326160663448=
18435599767349200867866
π(10^25)=(10^25)^0.92990384003862089117535160282792=
176846309399143769411680
π(10^26)=(10^26)^0.93193294031466014377284270634254=
1699246750872437141327603
π(10^27)=(10^27)^0.93383641136322993540457515082943=
16352460426841680446427399
π(10^28)=(10^28)^0.9356259514911400254898811079514=
157589269275973410412739598
π(10^29)=(10^29)^0.93731182779651037938968032928829=
1520698109714272166094258063

小草

T(10^1)=2^1=2
T(10^2)=2.8284271247461900976033774484194^2=8
T(10^3)=3.2710663101885897^3=35
T(10^4)=3.783889673771733^4=205
T(10^5)=4.14530302726885^5=1224
T(10^6)=4.487744768728324^6=8169
T(10^7)=4.803184317694406^7=58980
T(10^8)=5.075397544185996^8=440312
T(10^9)=5.321896655273152^9=3424506
T(10^10)=5.543641637819773^10=27412679
T(10^11)=5.743540414181492^11=224376048
T(10^12)=5.924678541165692^12=1870585220
T(10^13)=6.0895513664965675^13=15834664872
T(10^14)=6.240259224564641^14=135780321665
T(10^15)=6.3785736952429914^15=1177209242304
T(10^16)=6.505989846034208^16=10304195697298
T(10^17)=6.62377719149108^17=90948839353159
T(10^18)=6.733016738412022^18=808675888577436

【】【】【】
T(10^1)=(10^1)^0.30102999566398119521373889472449=2
T(10^2)=(10^2)^0.45154499349597179282060834208674=8
T(10^3)=(10^3)^0.51468934811675854516615912128939=35
T(10^4)=(10^4)^0.57793846526393857482391823881092=205
T(10^5)=(10^5)^0.6175562835619084777542884770024=1224
T(10^6)=(10^6)^0.65202814934327116737536517892996=8169
T(10^7)=(10^7)^0.68152925260225417932262881753157=58980
T(10^8)=(10^8)^0.70547006520287172703477028515503=440312
T(10^9)=(10^9)^0.72606643682935383070675499402017=3424506
T(10^10)=(10^10)^0.74379514805618565535297740716656=27412679
T(10^11)=(10^11)^0.75917968130904688762147195797655=224376048
T(10^12)=(10^12)^0.77266479154539508201699187332831=1870585220
T(10^13)=(10^13)^0.78458529817771635071002663539352=15834664872
T(10^14)=(10^14)^0.79520263094198242333802305802771=135780321665
T(10^15)=(10^15)^0.80472357753997111866226162522866=1177209242304
T(10^16)=(10^16)^0.81331338113846397609753235749727=10304195697298
T(10^17)=(10^17)^0.82110571536296605375397327576223=90948839353159
T(10^18)=(10^18)^0.82820969413391027762540800492722=808675888577436

小草

D(10^2)>10^2=2
D(10^3)>1.701254279852589^13=13
D(10^4)>1.1130421932675225^86=86
D(10^5)>1.0208091256602196^559=559
【】【】【】
D(10^2)>1.4142135623730951^2=2
D(10^3)>2.3513346877207573^3=13
D(10^4)>3.0452616464756694^4=86
D(10^5)>3.5439073677423503^5=559
D(10^6)>3.5439073677423503^6=1,981.0442185679741151736766719553
D(10^7)>3.5439073677423503^7=7,020.6372020064304269965003970099
D(10^8)>3.5439073677423503^8=24,880.487906436628104706487669592
D(10^9)>3.5439073677423503^9=88,174.144404645210720398171829479
D(10^10)>3.5439073677423503^10=312,481.00000000009384431815189167
【】【】【】
D(10^2)>(10^2)^0.15051499783199059760686944736225=2
D(10^3)>(10^3)^0.37131445076894558973550171931411=13
D(10^4)>(10^4)^0.48362461281089193040470676198842=86
D(10^5)>(10^5)^0.5494823615772846591223186622343=559
D(10^6)>(10^6)^0.5494823615772846591223186622343=1,981.0442185679737582052646656087
D(10^7)>(10^7)^0.5494823615772846591223186622343=7,020.6372020064289510896841430014
D(10^8)>(10^8)^0.5494823615772846591223186622343=24,880.487906436622127018441699608
D(10^9)>(10^9)^0.5494823615772846591223186622343=88,174.144404645186887978875128779
D(10^10)>(10^10)^0.5494823615772846591223186622343=312,480.99999999999999999999999993