哥德巴赫 (Goldbach) 猜想

luyuanhong

哥德巴赫 (Goldbach) 猜想

原创 贾朝华 数学往事 2024-05-16 15:51 江西

哥德巴赫猜想是解析数论中最重要的猜想之一，它的历史可以追溯到 1742 年 哥德巴赫致大数学家欧拉的一封信。在信中哥德巴赫提出了他的猜想，用后人整理过的语言，可以这样表述：

I. 每一个不小于 9 的奇数都是三个奇素数之和；

II. 每一个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和。

如果猜想 II 成立，则一个奇数减去 3 之后可写成两个奇素数之和，因而猜想 I 成立。由此可见，猜想 II 更为基本。我们知道，任何一个正整数都可以唯一地分解为素数之积，素数是乘法运算中的基本元素。在上面的猜想中，将素数放到加法的环境里，表现了正整数加法和乘法之间的某种关系，而这两种运算在数学中是最基本和常见的。

哥德巴赫猜想的表述非常简单，人们通过大量的验算也未找出反例，数据结果反而是倾向于支持猜想成立的。对于这样一个简洁明了的猜想，欧拉没能够提出解决方案，其后一百多年间数学家们也都束手无策。

1900 年，数学大师希尔伯特在展望 20 世纪数学发展前景的著名演讲中，提出了 23 个问题。他以全局性的观点来看待数学的整体发展，并将哥德巴赫猜想作为第 8 问题的一部分，从此哥德巴赫猜想不再是孤立的数学难题，而是近代数学发展中重要的一环。后来的发展证明，希尔伯特的眼光是非常正确的。

1920 年前后，英国数学家 Hardy 和 Littlewood 发表了系列文章来研究猜想 I ，所用的工具是他们与印度数学家 Ramanujan 共同创造的圆法。通过围道积分，猜想 I 中奇数表为素数之和的表示个数可写成关于某个 Fourier 级数的积分，而积分路径是半径接近于 1 的圆周，这就是圆法名称的由来。Hardy 和 Littlewood 在一个很强的假设下证明了猜想 I ，这个假设至今仍无法证明，因而他们的结果是条件性的。虽然如此，他们将离散的数论问题转化为连续的数学问题，使得一些深刻的数学工具得以应用，这无疑为进一步的发展开辟了一条正确的道路，而圆法也已成为数论中最基本的方法之一。

1937 年，苏联数学家 Vinogradov 证明了充分大的奇数可以表示为三个奇素数之和。他建立了一套处理以素数为变量的 Fourier 级数的方法，运用这种新方法可以避开上述困难的假设，从而证明了无条件的结果。虽然充分大奇数的下界远远超出目前计算机所能够达到的界限，但在数学上可以认为猜想 I 已经基本上解决了。Vinogradov 定理又称为三素数定理，它是解析数论也是数学上最重要的成果之一，后人有进一步的研究，比如，对于三个素数加各种限制条件，以及降低充分大素数的下界等.

现在我们来看猜想 II ，将它与猜想 I 比较，从方程上看仅差一个素数变量，然而在转化为连续问题之后，这个变量起到了关键性作用，它使得相关的估计得以进行。对于猜想 II 人们无法沿用猜想 I 中的方法，只得寻找另外的途径。

目前研究猜想 II 的主要工具是筛法，它可以追溯到公元前 200 多年古希腊的 Eratosthenes 筛法，今天我们在作素数表时还会用到这种方法。筛法是一种初等的组合方法，要将它应用于猜想 II 并得出有意义的结果，则还需作进一步的改造。另 一方面，由于筛法的一些局限性，人们不可能一步达到猜想 II ，而是采取逐步逼近的方式。1920 年，挪威数学家 Brun 对筛法作了重大的改进，由此证明了充分大的偶数可以表为两个正整数之和，其中每个正整数的素因子个数均不超过 9，这个结果通常称为 (9+9) 。Brun 为用筛法研究猜想 II 开辟了一条新的途径，随着筛法技术的发展，上述的素因子个数会不断地减少。

中国数学家陈景润、 王元、 潘承洞对于猜想 II 做出了重要的贡献，得到了国际数学界广泛的赞誉。陈景润以其灵活的思路和深入的计算证明了 (1+2) ，他的方法对于筛法是一个重要的贡献，陈景润的 (1+2) 和 Vinogradov 的三素数定理可以称得上是哥德巴赫问题中的双璧。意大利数学家 Bombieri 证明了比陈景润弱的结 果 (1+3) ，这是他获得菲尔兹奖的工作的一个重要组成部分，由此也可以看出国际数学界对于哥德巴赫猜想的关注。

从表面上看，(1+2) 离猜想 II 只有一步之遥，但数学家们认为，这一步可能比以往走过的路的总和还要长。因此，人们也在寻找另外接近猜想 II 的途径。例如，华罗庚等人利用 Vinogradov 方法证明了对于除去一个例外集合的所有偶数，猜想 II 总成立。不断放松对于偶数集合的相应限制直至取消，也是逐步接近猜想 II 的 一条途径。华罗庚更进一步考虑了素数变量方幂的情形，这拓宽了研究的范围，为后人提供了丰富的研究题材。

对于哥德巴赫猜想的研究，也促进了其他一些经典问题的研究。例如，人们要问：是否存在无穷多个素数 p ，使得 p+2 仍然是一个素数？这是著名的孪生素数猜想。从方程上看，这个猜想与猜想 II 有相似之处，用证明 (1+2) 的方法可以得到：存在着无穷多个素数 p ，使得 p+2 的素因子个数不超过 2 。另一个例子是问：是否有无穷多个正整数 x ，使得 x^2+1 总是素数？这个问题比孪生素数猜想更困难，这是因为在正整数中，形如 x^2+1 的数比 p+2 稀少，所以，x^2+1 为素数的概率更小。运用筛法可以证明，存在着无穷多个正整数 x ，使得 x^2+1 的素因子个数不超过 2 。

哥德巴赫猜想被誉为数学中的一颗明珠，正是因为它的悠久历史、简洁明了的表述、与数学基本问题的联系，以及在研究过程中所产生的重要数学方法等，它的迷人光彩吸引了一代又一代的数学家。

参考文献

[1] 潘承洞，潘承彪. 哥德巴赫猜想. 北京: 科学出版社，1981

[2] 潘承洞，潘承彪. 解析数论基础. 北京: 科学出版社，1997

撰稿人：贾朝华

中国科学院数学与系统科学研究院

原文刊载于《10000 个科学难题·数学卷》

被遗弃的草根

哥德巴赫猜想是正确的。

ysr

哥德巴赫猜想并不难，有多种初等证明方法可以证明，哥德巴赫猜想是远远成立的。我的证明不再赘述，参见相关文章。

ysr

哥德巴赫猜想并不难，有多种初等证明方法可以证明，哥德巴赫猜想是远远成立的。
1，由差定理（更容易证明）证明和定理（就是哥德巴赫猜想）成立。
2，设偶数2A的方根为M则其方根M内的素数的个数的下限是m=M/lnM，则偶数2A的哥德巴赫猜想解的个数的绝对下限就是m-1，这是对无穷大的偶数都成立的，随着偶数的增大实际解的个数远远大于m-1 ， 所以，哥德巴赫猜想远远成立。
3，据构成哥德巴赫猜想解的素数与偶数的方根的大小，把解分为两类：小根拆和大根拆，大于4的偶数，仅仅有73个偶数只有大根拆而不含有小根拆，其他的都是既有小根拆也有大根拆，而4=2+2.

所以，哥德巴赫猜想远远成立，容易证明，仅仅初等数学就可以证明，中学以上的学历都i可以完全解决。

至今不能和解决的原因仅仅有两个：一是数学家喜欢本末倒置从解析数论下手解决问题，二是中国数学界到处是汉奸破环了中国数学界的学术氛围！！