朋友，啥是 N-波纳契数列？

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朋友，啥是 N-波纳契数列？

原创 王海华 模型视角 2024-05-30 16：48 上海

嗨，朋友，你听说过 N-波那契数列吗？

我们大概都听说过那个从 0 和 1 开始，然后每一项都是前两项之和的数列，我们称其为斐波那契数列（也有人叫它“兔子数列”）。



今天，我们要探讨一个斐波那契数列的变体，它叫做 N-波那契数列（N-bonacci 数列）。哈哈，听起来有点陌生？没关系，咱们一步一步来，会发现它也很有意思。

斐波那契数列

在正式介绍 N-bonacci 数列之前，我们先快速回顾一下斐波那契数列。斐波那契数列是意大利数学家斐波那契 (Fibonacci) 在研究兔子繁殖问题时提出的。


斐波那契

数列从 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项之和，形成了一个无限数列：

0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

这个数列有很多神奇的性质，其中最著名的就是斐波那契数列的比值序列：

1/2，2/1，3/2，5/3，8/5，13/8，2/13，34/21，55/34，89/55，144/89，…



它逐渐接近著名的黄金比 φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875…



N-bonacci数列

斐波那契数列的规则是将前两项相加得到下一项。那么，如果我们改变这个规则，会发生什么呢? 比如，我们从前三项相加开始呢? 这就是我们要探讨的 数列的核心想法。

可以将 N-bonacci 数列视为一种广义的斐波那契数列。它从 N-1 个零和一个 1 开始，然后每一项都是前 N 项的和。例如，3-bonacci 数列是一个从三个零和一个 1 开始的数列，每一项是前三项的和：

0，0，1，1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，…

同样，4-bonacci数列从四个零和一个1开始，每一项是前四项的和：

0，0，0，1，1，2，4，8，15，29，56，108，208，…

现在，让我们正式定义一下 N-bonacci 数列。N-bonacci 数列从 N-1 个零和一个 1 开始，然后每一项都是前 N 项的和。

换句话说，对于一个给定的 N-bonacci数列，它的前 N-1 项是零，第 N 项是 1 ，然后第 N+1 项是前 N 项的和，第 N+2 项是从第 2 项到第 N+1 项的和，以此类推。

N-bonacci 数列的特点

简单总结一下 N-bonacci 数列的关键特点。

1. 初始条件

每个N-bonacci数列都有一个非常明确的初始条件，即从 N-1 个零和一个 1 开始。这使得我们可以轻松地构造任何 N-bonacci 数列。

2. 递推关系

N-bonacci 数列的递推关系非常简单，每一项都是前 N 项的和。这种递推关系使得 N-bonacci 数列在计算上具有一定的规律性和简洁性。

3. 无限序列

与斐波那契数列一样，N-bonacci 数列也是一个无限序列。你可以不断地计算新的项，而这个数列永远不会终止。

N-bonacci 常数

斐波那契数列有一个著名的性质，即它的比值序列收敛于黄金比例。N-bonacci 数列也有类似的性质。对于任意的 N-bonacci 数列，如果我们将每一项除以前一项，就会得到一个比值序列。这个比值序列会收敛于一个特定的常数，这个常数称为 N-bonacci 常数。

比如，对于斐波那契数列（即 2-bonacci 数列），比值序列收敛于黄金比例。对于 3-bonacci 数列，比值序列收敛于约 1.83928 的一个常数。



以下是前五个 N-bonacci 常数：



无限 N-bonacci 数列

谈到这里，我们不妨再脑洞大开一些，想象一下无限 N-bonacci 数列。

也就是说，N 趋于无穷大。这样的数列会从无限多个零开始，然后是一个 1 。接下来的一项都是前无穷多个零和 1 的和。——王海华

具体来说，第一项是 1 ，第二项也是 1 ，因为 0+1=1 。第三项是 2 ，因为 1+1=2 。第四项是 4 ，因为 1+1+2=4 。

第五项是 8 ，因为 1+1+2+4=8 。第六项是 16 ，因为 1+1+2+4+8=16 。如此继续，这个数列的项依次为：

1，1，2，4，8，16，32，64，128，256，…

可以看出，这个数列实际上是 2 的幂的序列，每一项都是 2 的指数次方。我们可以把它表示为 a(n)=2^(n-2) ，其中 a(n) 是第 n 项。

对于这个无限 N-bonacci 数列，如果我们计算连续项的比值，会发现它们都是 2 。也就是说无限 N-bonacci 数列的常数是 2 。

其实我们可以看到，从斐波那契数列（2-bonacci数列）常数 1.618 到 3-bonacci 数列常数 1.83928 再到无限 N-bonacci 数列常数 2 ，这个常数是递增的，它可以通过怎样简洁的方法计算出来呢？

参考资料：   

Wikipedia. (n.d.). Fibonacci sequence. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved May 30, 2024, from https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_sequence

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