“数形结合”和“建模思想”解根式方程

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“数形结合”和“建模思想”解根式方程

原创 JerryWen Geogebra 学习与应用 2024 年 06 月 05 日 21:46 广东

在数学这门深奥而有趣的学科中，我们经常会遇到各种思想方法，其中，“数形结合”和“建模思想”无疑是两个非常重要的概念。它们不仅能帮助我们更深入地理解数学知识，还能让我们在面对实际问题时，灵活运用所学知识，找到有效的解决方案。

数形结合思想[1]数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

建模思想（Modeling Thought）[2]是一种运用数学建模去解决问题的思想。数学建模[3]，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。

接下来看两道利用初中已学过的几何知识，结合建模思想与数形结合思想来解决的数学问题。

例 1




图 ①


动图 ①




图 ②



例 2




图 ③



小结

本文通过两个具体的数学问题，展示了如何运用数形结合和建模思想来解决实际数学问题。数形结合思想通过将代数问题转化为几何图形，利用直观的几何性质来简化问题的求解过程。而建模思想则侧重于将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过模型求解来找到问题的答案。

在例 1 中，我们看到了如何通过构造直角三角形，利用勾股定理来求解代数表达式的最小值问题，以及如何将方程的条件转化为几何图形的性质，从而得到方程的解。

在例 2 中，我们首先利用数形结合思想，将根式方程与直角三角形联系起来，通过三角函数的性质来简化问题。接着，通过换元法，我们将原方程转化为更易于处理的形式，并通过代数变换得到了解。

这两个例子说明了数形结合和建模思想在解决数学问题中的实用性和有效性。它们不仅帮助我们从不同角度审视问题，还提供了多种解题途径，增强了解决问题的能力。通过实际问题的解决，我们能够更深刻地理解数学概念，培养了数学思维和问题解决技巧。掌握这两种思想，对于提高解决复杂问题的能力具有重要意义。

参考资料

[1] 此词条来自百度百科【数形结合】: https://baike。baidu。com/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/2423390?fr=ge_ala

[2] 此词条来自百度百科【建模思想】: https://baike。baidu。com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1/527

[3] 此词条来自百度百科【数学建模】: https://baike。baidu。com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1/527

JerryWen