概率空间与测度空间

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概率空间与测度空间

原创 OxAA55h 套码的汉子 2024 年 06 月 06 日 19:56 辽宁

1. 概率空间

概率空间是概率论中的一个基本概念，用于描述随机事件和其概率的结构。概率空间由一个三元组 (Ω,F,P) 构成，其中：

    - 样本空间 Ω ：所有可能结果的集合。

    - 事件集合 F ：样本空间上定义的一个 σ-代数，包含所有感兴趣的事件。

    - 概率测度 P ：定义在事件集合 F 上的一个测度函数，满足 P(Ω)=1 ，表示每个事件发生的概率。

概率空间关键性质

    - 归一性：P(Ω)=1 。

    - 非负性：对任意事件 A∈F ，有 P(A)≥0 。

    - 可列可加性：对于两两互不相交的事件序列 {Ai}F，有 P(∪Ai)=∑P(Ai) 。

2. 测度空间

测度空间是测度论中的一个基本概念，用于研究集合的大小和函数的积分。测度空间由一个三元组 (X,M,μ) 构成，其中：

    - 基础集合 X ：一个集合。

    - σ-代数 M ：定义在 X 上的一个 σ-代数，包含所有感兴趣的可测集。

    - 测度 μ ：定义在 M 上的一个测度函数，表示每个可测集的大小。测度 μ 可以取值为 [0,∞] 。

关键性质

    - 非负性：对任意可测集 A∈M ，有 μ(A)≥0 。

    - 零测集：μ()=0 。

    - 可列可加性：对于两两互不相交的可测集序列 {Ai}M，有 μ(∪Ai)=∑μ(Ai) 。

3. 概率空间与测度空间的对比



4. 总结

- 相似性：两者都依赖于 σ-代数和测度函数，具有非负性和可列可加性。

- 区别：概率空间的测度归一化（总和为 1 ），适用于描述概率；测度空间的测度可以是无限的，更一般地用于描述集合的大小和积分。

这两者概念虽然来源和应用领域不同，但在数学基础上有很多共通之处。

附：

关于 σ-代数的解释：

（建议，可以去学抽象代数的域，这里的“-代数”就是域）

σ-代数的设计确保我们在处理复杂事件（通过补集、并集、交集等操作构建）时，事件系统仍然是封闭的，并且便于定义和计算测度或概率。

定义：

给定一个集合 X ，一个 σ-代数 M 是 X 的子集的集合，满足以下条件：

    - X 本身在 M 中：X∈M 。

    - 闭合于补集：如果 A∈M ，那么 A 的补集 Ac 也在 M 中，即 Ac∈M 。

    - 闭合于可列并：如果 {Ai} 是 M 中的一个可列集合序列（即每个 Ai∈M ），那么 {Ai} 的并集也在 M 中，即 ∪(i=1,∞)Ai∈M 。

简而言之，σ-代数是一个集合系统，它在补集和可列并运算下是封闭的。

示例

以下是一些具体的 σ-代数的例子，以帮助理解：

1. 离散样本空间

假设样本空间 Ω 是有限或可数的，例如 Ω={a,b,c}。在这种情况下，Ω 上的 σ-代数可以是包含 Ω 的所有子集的集合，即 F={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},Ω}。

2. 实数集上的 σ-代数

在实数集 R 上，常用的 σ-代数是 Borel σ-代数。它是由所有开集生成的最小的 σ-代数，记作 B(R) 。Borel σ-代数包含开集、闭集、以及可以通过可数次并、交和补运算得到的集合。

为啥是 Borel 不是勒贝格？？导师老波吐槽学生小勒：你不就搞了个零测集么！～

3. 最小的 σ-代数和最大的 σ-代数

- 最小的 σ-代数：给定任何集合 X ，最小的 σ-代数是 {,X}，只包含空集和集合 X 自身。

- 最大的 σ-代数：给定任何集合 X，最大的 σ-代数是 X 的所有子集的集合，即幂集 P(X)。

在概率论中的应用

在概率论中，σ-代数 F 包含了所有感兴趣的事件。一个事件可以理解为样本空间 Ω 的某个子集。通过 σ-代数的性质，可以确保我们定义的事件系统在补集和可列并集运算下是封闭的，从而可以方便地进行概率计算。

直观理解

- 闭合于补集：这意味着如果我们对某个事件感兴趣，那么它的不发生（即补集）也应该是我们感兴趣的。

- 闭合于可列并：这意味着如果我们对一系列事件感兴趣，那么这些事件中的任意并集（即“至少发生一个”）也应该是我们感兴趣的。

套码的汉子