筛法剩余分配律

小草

筛法剩余分配律

        文/施承忠


素数剩余分配律


【1】2^2=4
【1.4142135623730951^2=2】
1.4142135623730951^2=2

【2】3^2=9
【2.2360679774997896964091736687313^2=5】
2^2=4

【3】5^2=25
【4^2=16】
3^2=9

【4】7^2=49
【5.8309518948453004708741528775456^2=34】
3.8729833462074168851792653997824^2=15

【5】11^2=121
【9.5393920141694564915262158602323^2=91】
5.477225575051661134569697828008^2=30

【6】13^2=169
【11.40175425099137979136049025566862=130】
6.2449979983983982058468931209398^2=39

【7】17^2=289
【15.099668870541499394473369613892^2=228】
7.8102496759066543941297227357591^2=61

【8】19^2=361
【17^2=289】
8.4852813742385702928101323452582^=72

【9】23^2=529
【20.73644135332772087455898679985^2=430】
9.9498743710661995473447982100121^2=99

【10】29^2=841
【26.362852652928134893843250799406^2=695】
12.083045973594572068282839266808^2=146

【11】31^2=961
【28.266588050205139677265681128303^2=799】
12.72792206135785543921519851788762=162

【12】37^2=1369
【33.91164991562634069532278163313^2=1150】
14.798648586948742057084343029386^2=219

【13】41^2=1681
【37.656340767525460664853079603661^2=1418】
16.21727474022685477424268317327^2=263

【14】43^2=1849
【39.572717874818757512810423198167^2=1566】
16.822603841260722026204790541291^2=283

【15】47^2=2209
【43.358966777357598837979248961464^2=1880】
18.13835714721705439823295170306^2=329

【16】53^2=2809
【48.989794855663561963945681494118^2400】
20.22374841615668437951298755924^2=409

【17】59^2=3481
【54.717456081217810943217710867184^2=2994】
22.068076490713910881942260552058^2=487

【18】61^2=3721
【56.586217403180432060386182059143^2=3202】
22.781571499789034527314226184294^2=519

【19】67^2=4489
【62.289646009589747868434159473469^2=3880】
24.677925358506131927083686547399^2=609

【20】71^2=5041
【66.075714146727161952961567280449^2=4366】
25.980762113533159402911695122588^2=675

【】【】【】


孪生素数剩余分配律

【2】3^2=9
【2.6457513110645905905016157536393^2=7】
1.4142135623730951^2=2

【3】5^2=25
【4.582575694955840006588047193728^2=21】
2^2=4

【4】7^2=49
【6.557438524302000652344109997636^2=43】
2.4494897427831780981972840747059^2=6

【5】11^2=121
【10.5356537528527388484014046619^2=111】
3.1622776601683793319988935444327^2=10

【6】13^2=169
【12.529964086141667788495364815753^2=157】
3.4641016151377545870548926830117^2=12

【7】17^2=289
【16.431676725154983403709093484024^2=270】
4.3588989435406735522369819838596^2=19

【8】19^2=361
【18.439088914585774620004548563526^2=340】
4.582575694955840006588047193728^2=21

【9】23^2=529
【22.449944320643648313502492393899^2=504】
5^2=25

【10】29^2=841
【28.425340807103790993941858975256^2=808】
5.7445626465380286598506114682189^2=33

【11】31^2=961
【30.430248109405877796828239840594^2=926】
5.9160797830996160425673282915616^2=35

【12】37^2=1369
【36.373066958946423164076373171623^2=1323】
6.782329983125268139064556326626^46

【13】41^2=1681
【6.782329983125268139064556326626^2=1628】
7.280109889280518271097302491527^2=53

【14】43^2=1849
【42.343830719480258190486761284354^2=1793】
7.4833147735478827711674974646331^2=56

【15】47^2=2209
【46.281745861624537467236341611266^2=2142】
8.1853527718724499699537037247339^2=67

【16】53^2=2809
【52.239831546435905405281664137754^2=2729】
8.9442719099991587856366946749251^2=80

【17】59^2=3481
【58.206528843420992991035546580064^2=3388】
9.643650760992954995760031047432762=93

【18】61^2=3721
【60.191361506448747217309693678612^2=3623】
9.8994949366116653416118210694679^2=98

【19】67^2=4489
【66.121101019266156802416336065432^2=4372】
10.816653826391967879357663802411^2=117

【20】71^2=5041
【70.092795635500229346963967551559^2=4913】
11.313708498984760390413509793678^2=128

【】【】【】

偶数素数对剩余分配律


【3】5^2=25
【4.898979485566356196394568149411862=24】
1^1=1

【4】7^2=49
【6.9282032302755091741097853660235^2=48】
1^1=1

【5】11^2=121
【10.908712114635714411502154487373^2=119】
1.4142135623730951^2=2

【6】13^2=169
【12.84523257866512902011689847764^2=165】
2^2=4

【7】17^2=289
【16.852299546352717261268279812405^2=284】
2.2360679774997896964091736687313^2=5

【8】19^2=361
【2.2360679774997896964091736687313^2=355】
2.4494897427831780981972840747059^2=6

【9】23^2=529
【22.803508501982759582720980511335^2=520】
3^2=9

【10】29^2=841
【28.809720581775866991016236652966^2=830】
3.3166247903553998491149327366707^2=11

【11】31^2=961
【30.822070014844882251250961907271^2=950】
3.3166247903553998491149327366707^2=11

【12】37^2=1369
【36.783148315499041850093344262882^2=1353】
4^2=16

【13】41^2=1681
【40.755367744629663689774452935897^2=1661】
4.4721359549995793928183473374626^2=20

【14】43^2=1849
【42.755116652863900237912204075665^2=1828】
4.582575694955840006588047193728^2=21

【15】47^2=2209
【46.733285782191690442648739570432^2=2184】
5^2=25

【16】53^2=2809
【52.735187493740837177840913913179^2=2781】
5.2915026221291811810032315072785^2=28

【17】59^2=3481
【58.668560575490515438001773359556^2=3442】
6.2449979983983982058468931209398^2=39

【18】61^2=3721
【60.67124524847005313853896267772^2=3681】
6.3245553203367586639977870888654^2=40

【19】67^2=4489
【66.640828326184541806740791743513^2=4441】
6.9282032302755091741097853660235^2=48

【20】71^2=5041
【70.647009844720250551921443040137^4991】
7.0710678118654752440084436210485^2=50


【】【】【】

当h=10时，C=10^k,S(10^k)=g^k,k趋向无穷g趋向10.

因为b,C趋向无穷，lnb趋向lnC.
C^(lnb/lnC)=b,b^(lnC/lnb)=C,C^s=b,b趋向无穷s趋向1,b^s=C,C趋向无穷s趋向1.

【g(10^1)=6】
π(10^1)=4

【g(10^2)=8.6602540378443864676372317075294^2=75】
π(10^2)=5^2=25

【g(10^3)=9.405338750883029^3=832】
π(10^3)=5.517848352762241^3=168

【g(10^4)=9.677479895190563^4=8771】
π(10^4)=5.920903333606808^4=1229

【g(10^5)=9.800345181007353^5=90408】
π(10^5)=6.257225896326716^5=9592

【g(10^6)=9.864673456832524^6=921502】
π(10^6)=6.543494855348049^6=78498

【g(10^7)=9.902239255659284^7=9335421】
π(10^7)=6.788789979921198^7=664579

【g(10^8)=9.926098294094384^8=94238545】
π(10^8)=6.9994920043687445^8=5761455

【g(10^9)=9.942183524672224^9=949152466】
π(10^9)=7.182112615818092^9=50847534

【g(10^10)=9.953535147439354^10=9544947489】
π(10^10)=7.341860891196403^10=455052511

【g(10^11)=9.961843446470256^11=95881945187】
π(10^11)=7.482779026171154^11=4118054813

【g(10^12)=9.968106521856207^12=962392087982】
π(10^12)=7.608048430335953^12=37607912018

【g(10^13)=9.972944708398211^13=9653934463161】
π(10^13)=7.720182475889248^13=346065536839

【g(10^14)=9.976759730168771^14=96795058249198】
π(10^14)=7.82119055595112^14=3204941750802

【g(10^15)=9.97982106447325^15=970155429577331】
π(10^15)=7.912693717135135^15=29844570422669

【g(10^16)=9.982314957987484^16=9720761658966075】
π(10^16)=7.996012061874258^16=279238341033925

【g(10^17)=9.984373478303738^17=97376442842345767】
π(10^17)=8.072230612613458^17=2623557157654233

【g(10^18)=9.986092385621369^18=975260045712259140】
π(10^18)=8.14224906429305^18=24739954287740860

【g(10^19)=9.9875424857889^19=9765942332723655393】
π(10^19)=8.206819619445842^19=234057667276344607

【g(10^20)=9.988777046959095^20=97779180397439081160】
π(10^20)=8.266576023961035^20=2220819602560918840

【g(10^21)=9.989836765983776^21=978872730513981268072】
π(10^21)=8.322056055152128^21=21127269486018731928

【g(10^22)=9.990753167987542^22=9798532713310684093710】
π(10^22)=8.373719097370445^22=201467286689315906290

【g(10^23)=9.99155097970033^23=98074679608393196031077】
π(10^23)=8.421959999238418^23=1925320391606803968923

【g(10^24)=9.992249815934965^24=981564400232650799132134】
π(10^24)=8.467120093376796^24=18435599767349200867866

【g(10^25)=9.992865397367138^25=9823153690600856230588320】
π(10^25)=8.509496030644694^25=176846309399143769411680

【g(10^26)=9.993410442795856^26=98300753249127562858672397】
π(10^26)=8.549346916863126^26=1699246750872437141327603

【g(10^27)=9.993895331668027^27=983647539573158319553572601】
π(10^27)=8.586900120114812^27=16352460426841680446427399

【g(10^28)=9.994328602068903^28=9842410730724026589587260402】
π(10^28)=8.62235602867245^28=157589269275973410412739598

【g(10^29)=9.99471732927567^29=98479301890285727833905741937】
π(10^29)=8.655891974375077^29=1520698109714272166094258063


【】【】【】
【g(10^1)=(10^1)^0.7781512503836436325087667979796=6】
π(10^1)=(10^1)^0.602059991327962390427477789449=4

【g(10^2)=(10^2)^0.93753063169585002343377505690307=75】
π(10^2)=(10^2)^0.69897000433601880478626110527552=25

【g(10^3)=(10^3)^0.9733744420969079801629795087631=832】
π(10^3)=(10^3)^6.9077552789821370520539743640531=168

【g(10^4)=(10^4)^0.98576227775210170774870380223958=8771】
π(10^4)=(10^4)^0.77238797072161352141029577363768=1229

【g(10^5)=(10^5)^0.99124137238297473074588352997539=90408】
π(10^5)=(10^5)^0.79638183401815845231838599260607=9592

【g(10^6)=(10^6)^0.99408271368928180029516917751301=921502】
π(10^6)=(10^6)^0.81580976529612208599196176468705=78498

【g(10^7)=(10^7)^0.99573341544701926113115577931865=9335421】
π(10^7)=(10^7)^0.8317923734155669734770580086092=664579

【g(10^8)=(10^8)^0.99677857152334671358638299894465=94238545】
π(10^8)=(10^8)^0.84506652177066438688039200665073=5761455

【g(10^9)=(10^9)^0.99748177560209550490796343581475=949152466】
π(10^9)=(10^9)^0.85625221059859335346277538783242=50847534

【g(10^10)=(10^10)^0.99797735434892172813275084575697=9544947489】
π(10^10)=(10^10)^0.8658061515166294851229430881651=455052511

【g(10^11)=(10^11)^0.99833971237444805709979413247321=95881945187】
π(10^11)=(10^11)^0.87406292026893762565691893617531=4118054813

【g(10^12)=(10^12)^0.99861267032704959707904412868867=962392087982】
π(10^12)=(10^12)^0.88127326851409942651395701917203=37607912018

【g(10^13)=(10^13)^0.99882341124883729574819048529652=9653934463161】
π(10^13)=(10^13)^0.88762756553459735769780440453898=346065536839

【g(10^14)=(10^14)^0.99898951325085894703858958883312=96795058249198】
π(10^14)=(10^14)^0.89327286719343877845056026003578=3204941750802

【g(10^15)=(10^15)^0.99912275457308795986501584691251=970155429577331】
π(10^15)=(10^15)^0.89832435547444781713435463031352=29844570422669

【g(10^6)=(10^16)^0.99923126843113425955242968043154=9720761658966075】
π(10^16)=(10^16)^0.90287344057382829117640049841006=279238341033925

【g(10^17)=(10^17)^0.99932081798465731582438087856494=97376442842345767】
π(10^17)=(10^17)^0.90699356060680756269184830045074=2623557157654233

【g(10^18)=(10^18)^0.99939557958209635508058299628989=975260045712259140】
π(10^18)=(10^18)^0.91074438293575653240813820968084=24739954287740860

【g(10^19)=(10^19)^0.99945863976179087703615948880616=9765942332723655393】
π(10^19)=(10^19)^0.9141748880180776276495372327171=234057667276344607

【g(10^20)=(10^20)^0.99951231963045640982960772493265=97779180397439081160】
π(10^20)=(10^20)^0.91732566410945278492683735380329=2220819602560918840

【g(10^21)=(10^21)^0.99955839190849623712616534402424=978872730513981268072】
π(10^21)=(10^21)^0.92023063675869040737121693706134=21127269486018731928

【g(10^22)=(10^22)^0.99959822940428930454695660396863=9798532713310684093710】
π(10^22)=(10^22)^0.92291838806845000603875932034957=
201467286689315906290

【g(10^23)=(10^23)^0.99963290861065961544104340569309=98074679608393196031077】
π(10^23)=(10^23)^0.92541317437333649796455026995759=
1925320391606803968923

【g(10^24)=(10^24)^0.99966328328499545297497202873565=981564400232650799132134】
π(10^24)=(10^24)^0.92773571963004330831326160663448=
18435599767349200867866

【g(10^25)=(10^25)^0.99969003755850209667338642621677=9823153690600856230588320】
π(10^25)=(10^25)^0.92990384003862089117535160282792=
176846309399143769411680

【g(10^26)=(10^26)^0.99971372483511431670581889689484=98300753249127562858672397】
π(10^26)=(10^26)^0.93193294031466014377284270634254=
1699246750872437141327603

【g(10^27)=(10^27)^0.99973479666579906901144821567887=983647539573158319553572601】
π(10^27)=(10^27)^0.93383641136322993540457515082943=
16352460426841680446427399

【g(10^28)=(10^28)^0.99975362444608872187730784559212=9842410730724026589587260402】
π(10^28)=(10^28)^0.9356259514911400254898811079514=
157589269275973410412739598

【g(10^29)=(10^29)^0.99977051590568760362385070182794=98479301890285727833905741937】
π(10^29)=(10^29)^0.93731182779651037938968032928829=
1520698109714272166094258063


【】【】【】
【g(10^1)=8^1=8】
T(10^1)=2^1=2

【g(10^2)=9.591663046625438=92】
T(10^2)=2.8284271247461900976033774484194^2=8

【g(10^3)=9.881945122337392^3=965】
T(10^3)=3.2710663101885897^3=35

【g(10^4)=9.948351236789499=9795】
T(10^4)=3.783889673771733^4=205

【g(10^5)=9.975399258099163=98776】
T(10^5)=4.14530302726885^5=1224

【g(10^6)=9.986338425249379^6=991831】
T(10^6)=4.487744768728324^6=8169

【g(10^7)=9.991552909825518^7=9941020】
T(10^7)=4.803184317694406^7=58980

【g(10^8)=9.994485468209415^8=99559688】
T(10^8)=5.075397544185996^8=440312

【g(10^9)=9.996189189585193^9=996575494】
T(10^9)=5.321896655273152^9=3424506

【g(10^10)=9.997255344670116^10=9972587321】
T(10^10)=5.543641637819773^10=27412679

【g(10^11)=9.997958134414345^11=99775623952】
T(10^11)=5.743540414181492^11=224376048

【g(10^12)=9.998439840926325^12=998129414780】
T(10^12)=5.924678541165692^12=1870585220

【g(10^13)=9.998781057762221^13=9984165335128】
T(10^13)=6.0895513664965675^13=15834664872

【g(10^14)=9.999029528617555^14=99864219678335】
T(10^14)=6.240259224564641^14=135780321665

【g(10^15)=9.999214762366597^15=998822790757696】
T(10^15)=6.3785736952429914^15=1177209242304

【g(10^16)=9.99935567649794^16=9989695804302702】
T(10^16)=6.505989846034208^16=10304195697298

【g(10^17)=9.99946477771834^17=99909051160646841】
T(10^17)=6.62377719149108^17=90948839353159

【g(10^18)=9.999550563964766^18=999191324111422564】
T(10^18)=6.733016738412022^18=808675888577436



【】【】【】
【g(10^1)=(10^1)^0.90308998699194358564121668417345=8】
T(10^1)=(10^1)^0.30102999566398119521373889472449=2

【g(10^2)=(10^2)^0.98189391367277763464762745085008=92】
T(10^2)=(10^2)^0.45154499349597179282060834208674=8

【g(10^3)=(10^3)^0.99484243778126418846116658387626=965】
T(10^3)=(10^3)^0.51468934811675854516615912128939=35

【g(10^4)=(10^4)^0.99775111008268879087764989349904=9795】
T(10^4)=(10^4)^0.57793846526393857482391823881092=205

【g(10^5)=(10^5)^0.99893028702738321033185226751552=98776】
T(10^5)=(10^5)^0.6175562835619084777542884770024=1224

【g(10^6)=(10^6)^0.99940627969704895925010811129291=991831】
T(10^6)=(10^6)^0.65202814934327116737536517892996=8169

【g(10^7)=(10^7)^0.99963299250580657104541605557035=9941020】
T(10^7)=(10^7)^0.68152925260225417932262881753157=58980

【g(10^8)=(10^8)^0.99976044086841202360113768404475=99559688】
T(10^8)=(10^8)^0.70547006520287172703477028515503=440312

【g(10^9)=(10^9)^0.99983446706379155118582350283228=996575494】
T(10^9)=(10^9)^0.72606643682935383070675499402017=3424506

【g(10^10)=(10^10)^0.99988078477256650715788656290523=9972587321】
T(10^10)=(10^10)^0.74379514805618565535297740716656=27412679

【g(10^11)=(10^11)^0.99991131384976811745350457747609=99775623952】
T(10^11)=(10^11)^0.75917968130904688762147195797655=224376048

【g(10^12)=(10^12)^0.99993223786621840724366742112236=998129414780】
T(10^12)=(10^12)^0.77266479154539508201699187332831=1870585220

【g(10^13)=(10^13)^29.933606208922593892233888910897=9984165335128】
T(10^13)=(10^13)^0.78458529817771635071002663539352=15834664872

【g(10^14)=(10^14)^0.99995785091811897216900122233273=99864219678335】
T(10^14)=(10^14)^0.79520263094198242333802305802771=135780321665

【g(10^15)=(10^15)^0.9999658962238871064605337878695=998822790757696】
T(10^15)=(10^15)^0.80472357753997111866226162522866=1177209242304

【g(10^16)=(10^16)^0.99997201648431796382135364184675=9989695804302702】
T(10^16)=(10^16)^0.81331338113846397609753235749727=10304195697298

【g(10^17)=(10^17)^0.99997675496957982591982006970188=99909051160646841】
T(10^17)=(10^17)^0.82110571536296605375397327576223=90948839353159

【g(10^18)=(10^18)^0.99998048080235818466956116074646=999191324111422564】
T(10^18)=(10^18)^0.82820969413391027762540800492722=808675888577436


【】【】【】
【g(10^2)=1.0481131341546857^98=98】
D(10^2)>10^2=2

【g(10^3)=1.0070232872933516^987=987】
D(10^3)>1.701254279852589^13=13

【g(10^4)=1.000929455316637^9914=9914】
D(10^4)>1.1130421932675225^86=86

【g(10^5)=1.0001157831473284^99441=99441】
D(10^5)>1.0208091256602196^559=559

【】【】【】
【g(10^2)<9.899494936611665^2=98】
D(10^2)>1.4142135623730951^2=2

【g(10^3)<9.956477520849354^3=987】
D(10^3)>2.3513346877207573^3=13

【g(10^4)<9.978430312586896^4=9914】
D(10^4)>3.0452616464756694^4=86

【g(10^5)<9.988794917345615^5=99441】
D(10^5)>3.5439073677423503^5=559

【g(10^6)<9.988794917345615^6=993,295.75537576635539067969321027】
D(10^6)>3.5439073677423503^6=1,981.0442185679741151736766719553

【g(10^7)=9.988794917345615^7=9,921,827.5927184283082002323576322】
D(10^7)>3.5439073677423503^7=7,020.6372020064304269965003970099

【g(10^8)=9.988794917345615^8=99,107,101.028925315340636769991874】
D(10^8)>3.5439073677423503^8=24,880.487906436628104706487669592

【g(10^9)=9.988794917345615^9=989,960,507.03058756056928671449958】
D(10^9)>3.5439073677423503^9=88,174.144404645210720398171829479

【g(10^10)=9.988794917345615^10=9,888,512,481.0000209891752972798552】
D(10^10)>3.5439073677423503^10=312,481.00000000009384431815189167

【】【】【】
【g(10^2)=(10^2)^0.99561303784624742831908570595488=98】
D(10^2)>(10^2)^0.15051499783199059760686944736225=2

【g(10^3)=(10^3)^0.99810571755654557747382118709899=987】
D(10^3)>(10^3)^0.37131445076894558973550171931411=13

【g(10^4)=(10^4)^0.99906222864228302909803632138728=9914】
D(10^4)>(10^4)^0.48362461281089193040470676198842=86

【g(10^5)=(10^5)^0.99951309660278005269298357891238=99441】
D(10^5)>(10^5)^0.5494823615772846591223186622343=559

【g(10^6)=(10^6)^0.99951309660278014487553407701171=993,295.75537576635539067969321027】
D(10^6)>(10^6)^0.5494823615772846591223186622343=1,981.0442185679737582052646656087

【g(10^7)=(10^7)^0.99951309660278014487553407701164=9,921,827.5927184283082002323576322】
D(10^7)>(10^7)^0.5494823615772846591223186622343=7,020.6372020064289510896841430014

【g(10^8)=(10^8)^0.9995130966027801448755340770117=99,107,101.028925315340636769991874】
D(10^8)>(10^8)^0.5494823615772846591223186622343=24,880.487906436622127018441699608

【g(10^9)=(10^9)^0.99951309660278014487553407701169=989,960,507.03058756056928671449958】
D(10^9)>(10^9)^0.5494823615772846591223186622343=88,174.144404645186887978875128779

【g(10^10)=(10^10)^0.99951309660278014487553407701164=9,888,512,481.0000209891752972798552】
D(10^10)>(10^10)^0.5494823615772846591223186622343=312,480.99999999999999999999999993

小草

g(x)与S(x)是一对对偶函数，x=g(x)+S(x).
因为筛法就是在x中筛去不大于√x中素数的所有合数和自然数1，并留下素数，所以利用x=p^2,效果会更好.因为此时p^2=g(p^2)+π(p^2)=a^2+b^2.
我们发现当p逐步增大时,a和b也不断增大，但是它有一个缺点，就是当a和b不变时，a^2+b^2也是不变的.这时p^2>a*^2+b*^2,我们要的是P^2=a^2+b^2.
我们将x=p^2改变为x=h^n.并取h=10,便成为了我们常用的10的幂次方数.我们发现当n逐步增大时,a和b也不断增大，但这时，若a和b不变，让n增大，a^n和b^n都可以趋向无穷，剩余和非剩余都趋向无穷，我们的问题就解决了.
我们已经知道π(10^n>b*^n),但是a*^n+b*^n<10^n.π(a*n+b*n)<b*^n.

小草

g(x)与S(x)是一对对偶函数，x=g(x)+S(x).
因为筛法就是在x中筛去不大于√x中素数的所有合数和自然数1，并留下素数，所以利用x=p^2,效果会更好.因为此时p^2=g(p^2)+π(p^2)=a^2+b^2.
我们发现当p逐步增大时,a和b也不断增大，但是它有一个缺点，就是当a和b不变时，a^2+b^2也是不变的.这时p^2>a*^2+b*^2,我们要的是P^2=a^2+b^2.
我们将x=p^2改变为x=h^n.并取h=10,便成为了我们常用的10的幂次方数.我们发现当n逐步增大时,a和b也不断增大，但这时，若a和b不变，让n增大，a^n和b^n都可以趋向无穷，剩余和非剩余都趋向无穷，我们的问题就解决了.
我们已经知道π(10^n>b*^n),但是a*^n+b*^n<10^n.π(a*n+b*n)<b*^n.

小草

我们取b=2，2^n表素数个数，则π(10^n)的素数个数一定大于2^n,
m<n,2^n≥π(10^m).

2^1=2
π(10^1)=4

2^2=4
π(10^1)=4

2^3=8
π(10^2)=25

2^4=16
π(10^2)=25

2^5=32
π(10^3)=168

2^6=64
π(10^3)=168

2^7=128
π(10^3)=168

2^8=256
π(10^4)=1229

2^9=512
π(10^4)=1229

2^10=1024
π(10^4)=1229

2^11=2048
π(10^5)=9592

2^12=4096
π(10^5)=9592

2^13=8192
π(10^5)=9592

2^14=16384
π(10^6)=78498

2^15=32768
π(10^6)=78498

2^16=65536
π(10^6)=78498

2^17=131072
π(10^7)=664579

2^18=262144
π(10^7)=664579

2^19=524288
π(10^7)=664579

2^20=1048576
π(10^8)=5761455

2^21=2097152
π(10^8)=5761455

2^22=4194304
π(10^8)=5761455

2^23=8388608
π(10^9)=50847534

2^24=16777216
π(10^9)=50847534

2^25=33554432
π(10^9)=50847534

2^26=67108864
π(10^10)=455052511

2^27=134217728
π(10^10)=455052511

2^28=268435456
π(10^10)=455052511

2^29=536870912
π(10^11)=4118054813

2^30=1073741824
π(10^11)=4118054813

2^31=2147483648
π(10^11)=4118054813

2^32=4294967296
π(10^12)=37607912018

2^33=8589934592
π(10^12)=37607912018

2^34=17179869184
π(10^12)=37607912018

2^35=34359738368
π(10^12)=37607912018

2^36=68719476736
π(10^13)=346065536839

2^37=137438953472
π(10^13)=346065536839

2^38=274877906944
π(10^13)=346065536839

2^39=549755813888
π(10^14)=3204941750802

2^40=1099511627776
π(10^14)=3204941750802

2^41=2199023255552
π(10^14)=3204941750802

2^42=4398046511104
π(10^15)=29844570422669

2^43=8796093022208
π(10^15)=29844570422669

2^44=17592186044416
π(10^15)=29844570422669

2^45=35184372088832
π(10^16)=279238341033925

2^46=70368744177664
π(10^16)=279238341033925

2^47=140737488355328
π(10^16)=279238341033925

2^48=281474976710656
π(10^17)=2623557157654233

2^49=562949953421312
π(10^17)=2623557157654233

2^50=1125899906842624
π(10^17)=2623557157654233

【】【】【】

我们取b=2，2^n表孪生素数对数，则n>1,T(10^n)的孪生素数个数一定大于2^n,
m<n,2^n≥T(10^m).


2^1=2
T(10^1)=2

2^2=4
T(10^2)=8

2^3=8
T(10^2)=8

2^4=16
T(10^3)=35

2^5=32
T(10^3)=35

2^6=64
T(10^4)=205

2^7=128
T(10^4)=205

2^8=256
T(10^5)=1224

2^9=512
T(10^5)=1224

2^10=1024
T(10^5)=1224

2^11=2048
T(10^6)=8169

2^12=4096
T(10^6)=8169

2^13=8192
T(10^7)=58980

2^14=16384
T(10^7)=58980

2^15=32768
T(10^7)=58980

2^16=65536
T(10^8)=440312

2^17=131072
T(10^8)=440312

2^18=262144
T(10^8)=440312

2^19=524288
T(10^9)=3424506

2^20=1048576
T(10^9)=3424506

2^21=2097152
T(10^9)=3424506

2^22=4194304
T(10^10)=27412679

2^23=8388608
T(10^10)=27412679

2^24=16777216
T(10^10)=27412679

2^25=33554432
T(10^11)=224376048

2^26=67108864
T(10^11)=224376048

2^27=134217728
T(10^11)=224376048

2^28=268435456
T(10^12)=1870585220

2^29=536870912
T(10^12)=1870585220

2^30=1073741824
T(10^12)=1870585220

2^31=2147483648
T(10^13)=15834664872

2^32=4294967296
T(10^13)=15834664872

2^33=8589934592
T(10^13)=15834664872

2^34=17179869184
T(10^14)=135780321665

2^35=34359738368
T(10^14)=135780321665

2^36=68719476736
T(10^14)=135780321665

2^37=137438953472
T(10^15)=1177209242304

2^38=274877906944
T(10^15)=1177209242304

2^39=549755813888
T(10^15)=1177209242304

2^40=1099511627776
T(10^15)=1177209242304

2^41=2199023255552
T(10^16)=10304195697298

2^42=4398046511104
T(10^16)=10304195697298

2^43=8796093022208
T(10^16)=10304195697298

2^44=17592186044416
T(10^17)=90948839353159

2^45=35184372088832
T(10^17)=90948839353159

2^46=70368744177664
T(10^17)=90948839353159

2^47=140737488355328
T(10^18)=808675888577436

2^48=281474976710656
T(10^18)=808675888577436

2^49=562949953421312
T(10^18)=808675888577436

【】【】【】

我们取b=2，2^n表2n内2素数和的对数，则n>2,2n≤10^n,D(10^n)内2素数和的对数一定大于2^n,m<n,2^n≥D(10^m).


2^1=2
D(10^2)>=2

2^2=4
D(10^3)>=13

2^3=8
D(10^3)>13

2^4=16
D(10^4)>86

2^5=32
D(10^4)>86

2^6=64
D(10^4)>86

2^7=128
D(10^5)>559

2^8=256
D(10^5)>559

2^9=512
D(10^5)>559

2^10=1024
D(10^6)>1981

2^11=2048
D(10^7)>7020

2^12=4096
D(10^7)>7020

2^13=8192
D(10^8)>24880

2^14=16384
D(10^8)>24880

2^15=32768
D(10^9)>88174

2^16=65536
D(10^9)>88174

2^17=131072
D(10^10)>312481

2^18=262144
D(10^10)>312481

小草

h^n=a^n+b^n,则(h^n+1=a^n+1+b^n+1)+g+π,所以h^n+1=a+&#8710;^n+b+&#8710;^n.

【g(10^1)=6】
π(10^1)=4

6^2=36
4^2=16
36+16=52
【g(10^2)=8.6602540378443864676372317075294^2=75】
π(10^2)=5^2=25
g=36+39=75
π=16+9=25

8.6602540378443864676372317075294^3>649
5^3=125
649+125=774
【g(10^3)=9.405338750883029^3=832】
π(10^3)=5.517848352762241^3=168
g=649+183=832
π=125+43=168

9.405338750883029^4>7825
5.517848352762241^4>926
7825+926=8751
【g(10^4)=9.677479895190563^4=8771】
π(10^4)=5.920903333606808^4=1229
g=7825+1046=8871
π=926+303=1229

9.677479895190563^5>84881
5.920903333606808^5>7276
84881+7276=92157
【g(10^5)=9.800345181007353^5=90408】
π(10^5)=6.257225896326716^5=9592
g=84881+5527=90408
π=7276+2316=9592

小草

h^n=a^n+b^n,则(h^n+1=a^n+1+b^n+1)+g+T,所以h^n+1=a+&#8710;^n+b+&#8710;^n.


【g(10^1)=8^1=8】
T(10^1)=2^1=2

8^2=64
2^2=4
64+4=68
【g(10^2)=9.591663046625438^2=92】
T(10^2)=2.8284271247461900976033774484194^2=8
g=64+28=92
T=4+4=8

9.591663046625438^3>882
2.8284271247461900976033774484194^3>22
882+22=904
【g(10^3)=9.881945122337392^3=965】
T(10^3)=3.2710663101885897^3=35
g=882+83=965
T=22+13=35

9.881945122337392^4>9536
3.2710663101885897^4>114
9536+114=9650
【g(10^4)=9.948351236789499=9795】
T(10^4)=3.783889673771733^4=205
g=9536+259=9796
T=114+91=205

9.881945122337392^5>94234
3.2710663101885897^5>374
94234+374=94608
【g(10^5)=9.975399258099163=98776】
T(10^5)=4.14530302726885^5=1224
g=94234+4542=98776
T=374+850=1224

小草

h^n=a^n+b^n,则(h^n+1=a^n+1+b^n+1)+g+D,所以h^n+1=a+&#8710;^n+b+&#8710;^n.

【g(10^2)<9.899494936611665^2<98】
D(10^2)>1.4142135623730951^2>2

9.899494936611665^3<970
1.4142135623730951^3>2
970+2=972
【g(10^3)<9.956477520849354^3<987】
D(10^3)>2.3513346877207573^3>13
g=970+17=987
D=2+11=13

9.956477520849354^4<9827
2.3513346877207573^4>30
9827+30=9,857
【g(10^4)<9.978430312586896^4<9914】
D(10^4)>3.0452616464756694^4>86
g=9827+87=9914
D=30+56=86

9.978430312586896^5<98926
3.0452616464756694^5>261
98926+261=99187
【g(10^5)<9.988794917345615^5<99441】
D(10^5)>3.5439073677423503^5>559
g=98926+515=99441
D=261+298=559

小草

有人总是说素数会愈来愈稀，偶数就会无法配对.其实这完全是非数学观点，是一种对数学的无知.就算素数稀疏到10^n中只有2^n个配对，同样也会有无数个配对.
比如说：
10=3+7=5+5
100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53有6对，我们还可以去掉2对.
1000时992有13对，我们还可以去掉5对.
10000时9866有86对，我们还可以去掉70对.
10^5时99098有559对，我们还可以去掉527对.

小草

D(2^2)=1
1^2=1
D(2^3)=1
1^3=1
0
D(2^4)=2
1^4=1
1^4=1
1.189207115002721^4=2
D(2^5)=2
1.189207115002721^5=1
1^5=1
1.148698354997035^5=2
D(2^6)=5
1.148698354997035^6=2
1.2009369551760027^6=3
1.3076604860118306^6=5
D(2^7)=3
1.3076604860118306^7=6
-(1.169930812758687^7)=-3
1.169930812758687^7=3
D(2^8)=8
1.169930812758687^8=3
1.2228445449938519^8=5
1.2968395546510096^8=8
D(2^9)=11
1.2968395546510096^9=10
1^10=1
1.3052998807949199^9=11
D(2^10)=22
1.3052998807949199^10=14
1.2311444133449163^10=8
1.362204366553743^10=22
D(2^11)=25
1.362204366553743^11=29
-(1.1343125221954626^11)=-4
1.3399403191028385^11=25
D(2^12)=53
1.3399403191028385^12=33
1.2835688421125162^12=20
1.3921616171717222^12=53
D(2^13)=76
1.3921616171717222^13=73
1.0881822434633168^13=3
1.3953333312577485^13=76
D(2^14)=151
1.3953333312577485^14=106
1.312461607405219^14=45
1.4310051954363137^14=151
D(2^15)=244
1.4310051954363137^15=216
1.2487548905696053^15=28
1.4426444913338636^15=244
D(2^16)=435
1.4426444913338636^16=352
1.3180818528549718^16=83
1.4618593120994121^16=435
D(2^17)=749
1.4618593120994121^17=635
1.321278606068172^17=114
1.4760027469676147^17=749
D(2^18)=1314
1.4760027469676147^18=1105
1.2977479783360208^18=109
1.4902368493404725^18=1314
D(2^19)=2367
1.4902368493404725^19=1958
1.3723317824364238^19=409
1.5051832681716164^19=2367
D(2^20)=4239
1.5051832681716164^20=3562
1.38525406554889^20=677
1.5183195036933168^20=4239
D(2^21)=7471
1.5183195036933168^21=6436
1.3917735801553186^21=1035
1.5291377379477016^21=7471
D(2^22)=13705
1.5291377379477016^22=11424
1.4211569995739828^22=2281
1.541842300409222^22=13705
D(2^23)=24928
1.541842300409222^23=21130
1.4309775632259512^23=3798
1.5529601919102203^23=24928
D(2^24)=45746
1.5529601919102203^24=38712
1.4464389181632396^24=7034
1.563800617322465^24=45746
D(2^25)=83467
1.563800617322465^25=71537
1.4556790031567566^25=11930
1.5734776995772215^25=83467
D(2^26)=153850
1.5734776995772215^26=131333
1.4702942238145922^26=22517
1.5830832361687035^26=153850
D(2^27)=283746
1.5830832361687035^27=243557
1.4808889375354903^27=40189
1.5920634094649078^27=283746
D(2^28)=525236
1.5920634094649078^28=451741
1.4920896615454877^28=73495
1.600657354741736^28=525236
D(2^29)=975685
1.600657354741736^29=840722
1.502809583695461^29=134963
1.6088958009334422^29=975685
D(2^30)=1817111
1.6088958009334422^30=1569775
1.5127816379583996^30=247336
1.6167618343775902^30=1817111
D(2^31)=3390038
1.6167618343775902^31=2937835
1.522054175837968^31=452203
1.6242458290675688^31=3390038
D(2^32)=6341424
1.6242458290675688^32=5506255
1.5312829570950108^32=835169
1.6314295982780744^32=6341424
D(2^33)=11891654
1.6314295982780744^33=10345586
1.5401122724068221^33=1546068
1.6383296110821157^33=11891654
D(2^34)=22336060
1.6383296110821157^34=19482448
1.548333664672645^34=2853612
1.6449293588012015^34=22336060
D(2^35)=42034097
1.6449293588012015^35=36741240
1.5563434174026718^35=5292857
1.6512665828943702^35=42034097
D(2^36)=79287664
1.6512665828943702^36=69409499
1.564215421395899^36=9878165
1.6573810861244458^36=79287664
D(2^37)=149711134
1.6573810861244458^37=131409874
1.57138741283045^37=18301260
1.6632319289034112^37=149711134
D(2^38)=283277225
1.6632319289034112^38=249004338
1.5786584407697422^38=34272887
1.6688858123287482^38=283277225
D(2^39)=536710100
1.6688858123287482^39=472757341
1.5854415588675475^39=63952759
1.6743239179302591^39=536710100
D(2^40)=1018369893
1.6743239179302591^40=898626557
1.5920484630703169^40=119743336
1.6795681823206918^40=1018369893
D(2^41)=1934814452
1.6795681823206918^41=1710421670
1.5983914341553203^41=224392782
1.6846256079852358^41=1934814452
D(2^42)=3680759328
1.6846256079852358^42=3259437972
1.604530363178168^42=421321356
1.689508631184373^42=3680759328
D(2^43)=7010898161
1.689508631184373^43=6218674653
1.610460017253442^43=792223508
1.6942265390945637^43=7010898161
D(2^44)=13369466800
1.6942265390945637^44=11878049727
1.6161843195818744^44=1491417073
1.6987871081193728^44=13369466800
D(2^45)=25522944188
1.6987871081193728^45=22711877842
1.6217164171801721^45=2811066346
1.7031979599372544^45=25522944188
D(2^46)=48776696083
1.7031979599372544^46=43470626472
1.6270770053617003^46=5306069611
1.7074674881426122^46=48776696083
D(2^47)=93311971184
1.7074674881426122^47=83284622740
1.6322669748104088^47=10027348444
1.7116025413176268^47=93311971184
D(2^48)=178680063951
1.7116025413176268^48=159713007013
1.6372876988085574^48=18967056938
1.7156087479964461^48=178680063951
D(2^49)=342469661688
1.7156087479964461^49=306545080806
1.6421626016345618^49=35924580882
1.7194931542312037^49=342469661688
D(2^50)=656978437719
1.7194931542312037^50=588874238804
1.646885772867061^50=68104198915
1.723260852938942^50=656978437719

小草

D(2^2)=1【】
1^2+1
D(2^3)=1
1^3=1
D(2^4)=2
1.189207115002721^4=2
D(2^5)=2【】
1.148698354997035^5=2
D(2^6)=5
1.3076604860118306^6=5
D(2^7)=3【】
1.169930812758687^7=3
D(2^8)=8【】
1.2968395546510096^8=8
D(2^9)=11【】
1.3052998807949199^9=11
D(2^10)=22
1.362204366553743^10=22
D(2^11)=25【】
1.3399403191028385^11=25
D(2^12)=53【】
1.3921616171717222^12=53
D(2^13)=76【】
1.3953333312577485^13=76
D(2^14)=151【】
1.4310051954363137^14=151
D(2^15)=244【】
1.4426444913338636^15=244
D(2^16)=435
1.4618593120994121^16=435
D(2^17)=749
1.4760027469676147^17=749
D(2^18)=1314
1.4902368493404725^18=1314
D(2^19)=2367
1.5051832681716164^19=2367
D(2^20)=4239
1.5183195036933168^20=4239
D(2^21)=7471
1.5291377379477016^21=7471
D(2^22)=13705
1.541842300409222^22=13705
D(2^23)=24928
1.5529601919102203^23=24928
D(2^24)=45746
1.563800617322465^24=45746
D(2^25)=83467
1.5734776995772215^25=83467
D(2^26)=153850
1.5830832361687035^26=153850
D(2^27)=283746
1.5920634094649078^27=283746
D(2^28)=525236
1.600657354741736^28=525236
D(2^29)=975685
1.6088958009334422^29=975685
D(2^30)=1817111
1.6167618343775902^30=1817111
D(2^31)=3390038
1.6242458290675688^31=3390038
D(2^32)=6341424
1.6314295982780744^32=6341424
D(2^33)=11891654
1.6383296110821157^33=11891654
D(2^34)=22336060
1.6449293588012015^34=22336060
D(2^35)=42034097
1.6512665828943702^35=42034097
D(2^36)=79287664
1.6573810861244458^36=79287664
D(2^37)=149711134
1.6632319289034112^37=149711134
D(2^38)=283277225
1.6688858123287482^38=283277225
D(2^39)=536710100
1.6743239179302591^39=536710100
D(2^40)=1018369893
1.6795681823206918^40=1018369893
D(2^41)=1934814452
1.6846256079852358^41=1934814452
D(2^42)=3680759328
1.689508631184373^42=3680759328
D(2^43)=7010898161
1.6942265390945637^43=7010898161
D(2^44)=13369466800
1.6987871081193728^44=13369466800
D(2^45)=25522944188
1.7031979599372544^45=25522944188
D(2^46)=48776696083
1.7074674881426122^46=48776696083
D(2^47)=93311971184
1.7116025413176268^47=93311971184
D(2^48)=178680063951
1.7156087479964461^48=178680063951
D(2^49)=342469661688
1.7194931542312037^49=342469661688
D(2^50)=656978437719
1.723260852938942^50=656978437719