贝塔函数 Beta 函数（第一类欧拉积分）

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贝塔函数 Beta 函数（第一类欧拉积分）

原创 秦迷天下 秦迷天下 2024 年 05 月 30 日 10:30 贵州

前面我们介绍了鼎鼎大名的伽玛函数：Gamma 函数是阶乘函数在实数与复数上的扩展，也叫做第二类欧拉积分，这里介绍第一类欧拉积分就是贝塔函数。

伽玛函数我们了解到其作为阶乘函数的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 Γ(x) ，负整数和 0 是它的一阶极点。伽马函数是一种带有自变量的数学函数，可以用来描述阶乘函数 n! ，并予以推广；伽马函数 Γ(x) ，当 x＞0 时收敛；伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它可以进行解析。如下图：



这里画的是 Γ(5) 和 Γ(6) 的积分，其中显示 Γ(6) 的图形并积分计算出它的值，结果就是 5!=120 ，所以从这里可以看出欧拉的伟大，真的对于公式的给出真的是非常震撼，如此完美的公式，还有欧拉公式：一分钟带你熟悉欧拉公式。

接下来我们来看下 Beta 贝塔函数的公式：



P＜1 时 Beta 贝塔函数是以 x=0 为瑕点的无界函数，如图：



Q＜1 时 Beta 贝塔函数是以 x=1 为瑕点的无界函数，如图：



应用柯西判别法可证得当 P＞0 , Q＞0 时，这两个无界函数反常积分都收敛，所以贝塔函数的定义域为 P＞0 , Q＞0 。

与伽玛函数的关系

1、对于任意的正实数 P,Q ，有关系表达式：B(P,Q)=Γ(P)Γ(Q)/Γ(P+Q) 。

有了这个关系之后，我们求贝塔函数就很简单了，因为我们前面知道了伽玛函数的方法就是求阶乘，比如这里我们求 B(2,2)、B(3,3)、B(2,6) 三个贝塔函数的积分表达式的值，如下图：



可以看到这样的积分表达式转换成伽玛函数之后，求解变得非常简单。虽然 x(1-x) 的不定积分我们可以很轻松得到是 x^2/2-x^3/3+C ，在 [0,1] 区间的定积分也可以很容易得到为 1/6 ，但是当 x(1-x) 的幂次方变得复杂的时候，求积分也变得很复杂，所以这里也可以看到贝塔函数的强大。

2、当 P、Q 都是正整数时，我们可以将公式写成跟伽玛函数没有关系的式子：



比如 B(2,6) ，我们使用这个公式来测试下：





3、B(P,1-P)=Γ(P)Γ(1-P) 当然这个公式从上面 1 中很容易推导出来，将 Q=1-P 代入就得到了。

秦迷天下