“素数公式”高产匠再现身

yangchuanju

“素数公式”高产匠再现身
2024-7-8——一个普通的日子，
然而就在这一天——太阳先生连续发布六大博贴——给出多条“素数公式”，真不愧为“素数公式”高产匠！
（一）素数公式，求证:m=k，t=p  （6贴）
（二）2a>b-1，求证：b=p  （3贴）
（三）整数a>b，试证：方程(a^2-b^2-2b-1)/c-b=0，没有整数解 （1贴）
（四）方程(a^2-m^2)/c=b，没有负整数解，求证：c=p  （7贴）
（五）b>a>b-m+1，求证：m=p （2贴）
（六）素数公式，求证：m=k，t=p，寻找大素数 （2贴）

现复录太阳先生最后定稿的素数公式转贴于此——
（1）已知：(a^2-b^2-2b-1)/c=b，(b-t-2)/2=a，(d^2-b^2-2b-1)/c=b，
a+t+2=d，b=mt，m=t+4，n次根下m≠u，n次根下t≠y，整数a>0，b>0，
c≠0，d>0，m>0，n>1，u>0，v>0，y>0，奇数t>1，素数k>0，p>0，
求证：u=k，y=p

（2）已知：(a^2-b^2-2b-1)/c=b，(b-t-2)/2=a，(d^2-b^2-2b-1)/c=b，
a+t+2=d，b=mt，m=t+4，n次根下m=u，n次根下u≠v，n次根下t≠y，整数a>0，b>0，
c≠0，d>0，m>0，n>1，u>0，v>0，y>0，奇数t>1，素数k>0，p>0，
求证：u=k，y=p

（3）已知：(a^2-b^2-2b-1)/c=b，(b-t-2)/2=a，(d^2-b^2-2b-1)/c=b，
a+t+2=d，b=mt，m=t+4，n次根下m≠u，n次根下t=y，n次根下y≠v，整数a>0，b>0，
c≠0，d>0，m>0，n>1，u>0，v>0，y>0，奇数t>1，素数k>0，p>0，
求证：u=k，y=p

yangchuanju

三素数公式的基本条件大致相同，基本不定方程是(a^2-b^2-2b-1)/c=b，
方程涉及3个参变量a、b、c，其中a和b是正整数，c是非0整数（正整数或负整数）；
对不定方程稍稍变换一下形式就是(a^2-b^2-2b-1)/b=c，
给定一对正整数a和b，如果方程左端是一个正整数或负整数，则它就是方程的一组整数解。

基本不定方程可能有整数解，也可能无整数解；有整数解的情况下，解数不会很多，基本上可以认为是一两个或两三个；
接下去，由解不定方程得到的一对a和b，根据代数式(b-t-2)/2=a可以求出中间参数t=-(2a+2-b)=b-2a-2；
又m=t+4也已确定，a,b,t,m都是确定的整数了，那么b还会再等于mt吗？
本来就整数解寥寥无几的不定方程(a^2-b^2-2b-1)/c=b，再硬要把参数a改成d=a+t+2，它还会有整数解吗？
至于n次根下m≠u，n次根下t≠y；或n次根下m=u，n次根下u≠v，n次根下t≠y；或n次根下m≠u，n次根下t=y，n次根下y≠v纯属虚设；
由于m,u,y可能就不存在，（也许有个别的m,u,y存在，）那么再求证u和y是素数，还有什么价值？

请问太阳先生，您的“素数公式”存在吗？有价值吗？

yangchuanju

给定a=1-1000，b=1-10000，逐个计算(a^2-b^2-2b-1)/b之中到底有多少个整数解——
100万个代数式中共有13432个整数解，其中b=1-100之中7852个。
根据7852组整数解中的a和b数值带入代数式(b-t-2)/2=a中可以求出7852个中间参数t=b-2a-2；
再根据7852个中间参数t带入代数式m=t+4中可以得到7852个m；
对应的t和m之值带入代数式b=mt之中，所得b与原不定方程中的参数b没有一个相等的。
7852个不定方程中没有找到一个有效的整数解b，13432个不定方程中恐怕也不一定有一个有效的整数解b呀，当然也不一定有有效的中间参数t和m了吧，
那就无需再根据m=u^n，u≠v^n，t≠y^n或m≠u^n，t=y^n，y≠v^n寻找u和y了吧，哪里还有u和y皆是素数之说？

yangchuanju

正当笔者辛辛苦苦地寻找有效的整数解时，太阳先生突然宣布——“命题是错误的，找到反例”，
既然太阳先生找到了反例，那肯定先行找到了更多的“正例”，
请太阳先生把您的正例和反例贴出来让网友们看一看好吗？

太阳先生的正例应该是满足双不定方程(a^2-b^2-2b-1)/c=b，(d^2-b^2-2b-1)/c=b，其中(b-t-2)/2=a，a+t+2=d的嗷！
这些正例的后续参数t、m、u、v、y必须与整数解a、b、c一一对应；
如果u和y都是素数，才称得上是正例；如果u和y有一个是合数或两个都是合数才称得上是反例；
太阳先生不要把不定方程有效无整数解及后续参数当作“反例”来愚弄别人吆！

yangchuanju

不定方程(a^2-b^2-2b-1)/b=c整数解组数（a=1-1000，b=1-1000）：       
正整数b        整数解组数
1-100        7852
101-200        1583
201-300        950
301-400        724
401-500        531
501-600        450
601-700        371
701-800        354
801-900        340
901-1000        268
1-10000        13423

yangchuanju

不定方程(a^2-b^2-2b-1)/b=c整数解组数（a=1-1000，b=1-1000）：       
正整数b        整数解组数
1-100        7852
101-200        1583
201-300        950
301-400        724
401-500        531
501-600        450
601-700        371
701-800        354
801-900        340
901-1000        268
1-10000        13423

yangchuanju

不定方程(a^2-b^2-2b-1)/b=c整数解组数（a=1-1000，b=1-100）：                                                       
正整数b        整数解组数        正整数b        整数解组数        正整数b        整数解组数        正整数b        整数解组数
1        1000        26        38        51        19        76        26
2        500        27        111        52        38        77        12
3        333        28        71        53        18        78        12
4        500        29        34        54        55        79        12
5        200        30        33        55        18        80        50
6        166        31        32        56        35        81        111
7        142        32        125        57        17        82        12
8        250        33        30        58        17        83        12
9        333        34        29        59        16        84        23
10        100        35        28        60        33        85        11
11        90        36        166        61        16        86        11
12        166        37        27        62        16        87        11
13        76        38        26        63        47        88        22
14        71        39        25        64        125        89        11
15        66        40        50        65        15        90        33
16        250        41        24        66        15        91        10
17        58        42        23        67        14        92        21
18        166        43        23        68        29        93        10
19        52        44        45        69        14        94        10
20        100        45        66        70        14        95        10
21        47        46        21        71        14        96        41
22        45        47        21        72        83        97        10
23        43        48        83        73        13        98        71
24        83        49        142        74        13        99        30
25        200        50        100        75        66        100        100

yangchuanju

不定方程(a^2-b^2-2b-1)/b=c整数解组数（a=1-1000，b=1-100）：
素数c        整数解组数        奇合数c        整数解组数        偶数c        整数解组数        偶数c        整数解组数
3        1        9        1        2        0        34        2
5        1        15        1        4        1        36        0
7        2        21        0        6        1        38        4
11        1        25        2        8        1        40        3
13        4        27        0        10        1        42        1
17        1        33        3        12        1        44        0
19        4        35        0        14        2        46        6
23        1        39        0        16        2        48        1
29        0        45        0        18        1        50        0
31        3        49        2        20        1        52        2
37        2        77        0        22        4        54        3
41        0        91        1        24        1        56        0
43        5        119        0        26        1        58        3
47        1        121        1        28        4        60        0
53        2        133        3        30        3        62        3
59        0        143        0        32        0        64        2

不论参数c是奇数合数偶数，是素数还是合数都可能是方程整数解的一个参数，也可能不是；
c是整数解的一个参数时可能是一个不定方程的整数解参数，也可能是多个不定方程的整数解参数！

yangchuanju

不定方程组(a^2-m^2)/c=b，2m=b-1，整数a≠0，-1>c，m>0，奇数b>0，整数解中的b或c是素数还是合数？
对不定方程组稍加变换即变成不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c，

太阳先生认定，如果方程没有负整数解，则判断b是素数；如果方程有负整数解，则判断b是合数；
真的如此吗？

给定参数a=1--1000，参数b=3,5,7，……201（折算到参数m就是1--100），逐个计算这100*1000=10万个不定方程，共得：
5602个c大于1的正整数解，其中既有素数，也有合数；53个c小于1的负整数解，其中既有素数，也有合数；
（当m=a-1时，每个不定方程都有一组整数解(a,a-1,1)，它是一组正整数解，未予统计；没有c=-1的负整数解。）
5602个正整数解之中，不但b的素性不能确定，c的素性同样不能确定：
(5^2-1^2)/3=8，c=8合数，b=3素数；
(7^2-2^2)/5=9，c=9合数，b=5素数；
(10^2-3^2)/7=13，c=13素数，b=7素数；
(13^2-4^2)/9=17，c=17素数，b=9合数；
(14^2-4^2)/9=20，c=20合数，b=9合数；
……
53个负整数解之中，同样不但b的素性不能确定，c的素性也不能确定：
(2^2-7^2)/15=-3，c=-3素数，b=15合数；
(4^2-10^2)/21=-4，c=-4合数，b=21合数；
(5^2-16^2)/33=-7，c=-7素数，b=33合数；
(7^2-19^2)/39=-8，c=-8合数，b=39合数；
(8^2-25^2)/51=-11，c=-11素数，b=51合数；
……

如果将不定方程中的参数a和m对换，将会得到5602组负整数解，53组正整数解，同样它们中的参数b和c的素性都不能确定！
如果将不定方程中的参数a和m最大一个或两个变号，所得不定方程中的正整数解和负整数解的个数不会变化，唯参数b可能小2或不变，但它们中的参数b和c的素性还是不能确定！

试问太阳先生，是不是再来一个“有反例，命题错误”就草草了事，否定您的素数公式？

愚工688

孙子点兵，多多益善！