\(\Large\textbf{集论复习：}\color{red}{\textbf{极限集}}\)\

elim

【定义1】\(\displaystyle\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n:=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\) 叫作 \(\{A_n\}\)的上极限(集);
\(\qquad\quad\;\;\displaystyle\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n:=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k\) 叫作 \(\{A_n\}\)的下极限(集);
【定理1】\(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\{m\in\mathbb{N}:\{k\mid m\in A_k\}\,是无穷集\}\)
\(\qquad\quad\;\;\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\{m\in\mathbb{N}:\{k\mid m\not\in A_k\}\,是有限集\}\)
【证：】\(m\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_n\iff \forall n\in\mathbb{N}\,(m\in\bigcup_{k=n}^\infty A_k)\)
\(\;\;\iff \forall n\in\mathbb{N}\,\exists k\ge n\;(m\in A_k)\iff \{k\mid m\in A_k\}是无穷集\)\(\\\)
\(\qquad\quad\)平行地证明定理的另一半.
【推论1】\(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n\)
【定义2】若\(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n\)，则称\(\{A_n\}\)收敛，
\(\qquad\quad\;\;\)称其上下极限的公共值为\(\{A_n\}\)的极限，记作\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n\).
【定理2】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n = \displaystyle\bigcap_{n =1}^\infty A_n\, (\{A_n\}单调降), \)
\(\qquad\quad\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\,(\{A_n\}单调升)\).
【证：】若\(\{A_n\}\)单降, 令 \(B_n:=\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k=A_n,\;C_n=\bigcap_{k=n}^\infty A_k\),则
\(\qquad\quad\;\;\displaystyle\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty B_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=C_1\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty C_n=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\)
\(\quad\therefore\quad\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)
\(\qquad\quad\;\;\)仿上平行a地证明若\(\{A_n\}\)单调升, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n.\quad\square\)

jzkyllcjl

定义1，空集这个术语，表示没有元素（或元素个数为0）的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。数学术语“元素个数”具有忽略现实集合中各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数；在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数。
在这个定义下，现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古?舜丛斓挠�0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则构成的现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它与现实数量的关系，例如; 虽然从纯数学理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段长的毫米数的和时，需要进行误差分析”；使用四舍五入法则时，会出现1加1近似等于1或3的现象。
这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。对自然数“既要说明它的理想性质的纯数学理论的一面，又需要说明：它的实践应用的现实性一面，只有这样才能使它成为解决生产实际问题时的有用的自然数”。上述讨论也证实了毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述是正确的。
这个自然数基数理论的第二个问题是：它把这个理论推广到无穷后说的“自然数集合与其真子集的奇数集合、偶数集合具有同一的无穷基数 ” 的概念是违背了“全体大于部分”的欧几里德的公理8的谬妄，他的这个谬妄是使用了“无限次使用并集合操作”得到的，根据引言中“无限次操作做不到底”的事实，他这个谬妄就被消除了。事实上，偶数集合2，4，6，……是自然数集合1，2，3，4，……真子集。这个真子集的元素个数是依据对任意自然数n，使用“对  取整数 的法则”得到无穷数列；0，1，1，2，2，3，3，……，这个数列与自然数数列 的极限都是+∞，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 的定值法则，得到偶数集合与自然数集合元素个数的比接近于 。同理，作为自然数的真子集的奇数集合1，3，5，……的元素个数也是与自然数集合元素个数的比接近于 。即偶数集合与奇数集合的元素个数都比自然数集合的元素个数少了几乎一半，而不是相等。《初等代数研究》中的这个自然数基数理论的提出是：为了与康托尔无穷基数协调而写出的理论，对于康托尔无穷基数将在下一小节进行批判。

elim

说jzkyllcjl 为初小差班老生是不错的．因为他不会用数学语言说事．他的数学空空如野，毫无有效的应用．没有人有胃口读完他又臭又长颠三倒四的胡扯．
他的搭档蠢疯顽瞎在反数学和愚蠢方面与之毫无二致，但种更孬些．

elim

【定义1】\(\displaystyle\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n:=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\) 叫作 \(\{A_n\}\)的上极限(集);
\(\qquad\quad\;\;\displaystyle\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n:=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k\) 叫作 \(\{A_n\}\)的下极限(集);
【定理1】\(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\{m\in\mathbb{N}:\{k\mid m\in A_k\}\,是无穷集\}\)
\(\qquad\quad\;\;\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\{m\in\mathbb{N}:\{k\mid m\not\in A_k\}\,是有限集\}\)
【证：】\(m\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_n\iff \forall n\in\mathbb{N}\,(m\in\bigcup_{k=n}^\infty A_k)\)
\(\;\;\iff \forall n\in\mathbb{N}\,\exists k\ge n\;(m\in A_k)\iff \{k\mid m\in A_k\}是无穷集\)\(\\\)
\(\qquad\quad\)平行地证明定理的另一半.
【推论1】\(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n\)
【定义2】若\(\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n\)，则称\(\{A_n\}\)收敛，
\(\qquad\quad\;\;\)称其上下极限的公共值为\(\{A_n\}\)的极限，记作\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n\).
【推论2】若\(\{A_n\},\{B_n\}\)收敛且\(A_n\subseteq B_n\,(\forall n),\)
\(\qquad\quad\;\;\)则 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_n\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty B_n=\lim_{n\to\infty}B_n\)
【定理2】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n = \displaystyle\bigcap_{n =1}^\infty A_n\, (\{A_n\}单调降), \)
\(\qquad\quad\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\,(\{A_n\}单调升)\).
【证：】若\(\{A_n\}\)单降, 令 \(B_n:=\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k=A_n,\;C_n=\bigcap_{k=n}^\infty A_k\),则
\(\qquad\quad\;\;\displaystyle\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty B_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=C_1\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty C_n=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n\)
\(\quad\therefore\quad\;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)
\(\qquad\quad\;\;\)仿上平行a地证明若\(\{A_n\}\)单调升, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n.\quad\square\)

【例】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\bigcap_{n=1}^\infty\{n+1,n+2,\ldots\}\)
\(\qquad\quad=\{m\mid \forall n\,(m\in\{n+1,n+2,\ldots\})\}\)
\(\qquad\quad\subseteq \{m\mid m\in\{m+1,m+2,\ldots\}\}=\{m\mid m>m\}=\varnothing\)

设\(\Omega\)是某成为论域的集合，以下讨论的集合都是\(\Omega\)的子集。
【定义3】\(\chi:\Omega\to \mathbb{R},\;\chi_A(x)=\begin{cases}1,& x\in A;\\0,& x\in A^c.\end{cases}\)
\(\qquad\quad\;\,\)叫作\(A\)的特征函数.
【注记】易见 \(\chi_A(\Omega)\subseteq\{0,1\},\;\;A=B\iff\chi_A=\chi_B,\)
\(\qquad\quad\displaystyle\chi_{(\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha})}=\min\{\chi_{A_\alpha}\mid\alpha\in\Lambda\},\;\chi_{(\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_{\alpha})}=\max\{\chi_{A_\alpha}\mid\alpha\in\Lambda\}\)
【定理3】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n = A\iff \lim_{n\to\infty}\chi_{A_n}=\chi_A\)
\(\qquad\quad\)其中特征函数的收敛是逐点收敛.

痛打落水狗

春孬婊鸡最近又在她的党八股裹脚布中提出了四平师范学院（现为吉林师范大学）方嘉琳编写的《集合论》，本人浏览此书后，发现其中第一章第7节《集列的极限》与周民强《实变函数论》一样，完全说明elim先生的推导正确，同时再一次证明春孬婊鸡就是看不懂最基本的集合论教材。大家都可以看一看：

特别是看一看45页定义2，等号左右的顺序到底如何。相信大家都看得出来这是给春孬婊鸡的一记结结实实的大耳光。

春孬婊鸡如果还是不服，可以再看看41页的例2，想一想其中极限集的补集是什么，这个补集等不等于空集？

相信大家都是一看便知，根本用不着想。

jzkyllcjl

elim 发表于 2024-7-20 12:29
说jzkyllcjl 为初小差班老生是不错的．因为他不会用数学语言说事．他的数学空空如野，毫无有效的应用．没有 ...

关于数学是什么的问题，存在着各种不同的论述。李宏魁译，[美]M 克莱因著《数学：确定性的丧失》中说了许多话，但笔者认为：数学是具有确定性的，这个确定性就是：数学理论的本质是研究现实数量大小、多少的自然科学，数学理论的阐述不能限制在形式逻辑之下，而必须使用实事求是的唯物辩证法。2018年大连理工大学出版了徐利治的《论无限》，其中第7页说到“人脑概念理性思维具有反映“飞跃”的能力，则实无限概念的客观性也就不难阐明了”。但事实上，有限不能通过“飞跃”达到“完成了的整体的”实无限，他坚持的这个观点，必须被抛弃，他坚持的《非标准分析》必须被抛弃。

jzkyllcjl

1被3除永远除不尽，现行的小学到大学的教科书都错了。

春风晚霞

痛打落水狗 发表于 2024-7-22 13:29
春孬婊鸡最近又在她的党八股裹脚布中提出了四平师范学院（现为吉林师范大学）方嘉琳编写的《集合论》，本人 ...

落水狗裔生！你忙活了半天有个卵用！你为elim的【无穷交就是一种骤变】找到理论根据了吗？你为你们想证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}=\phi\)找到现存的范例了吗？你也认为elim的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}=\)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^∞\{n+1，n+2，…\}\)等式成立吗？要是这个式子是我给出的，你两爷子裤子不跳脱那才是怪事！方嘉林、夏道行、曹广福、陈景良他们介绍的上下极限集的概念与周民强介绍的也是一致的。但他们谁也没有提出过【无穷交就是一种骤变】的思想，谁也没有想干方设百计地去证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}=\phi\)！你作为elim的舔狗，你怎认识elim那是你的自由，但你有什么权利强迫我接受e氏的错误思想？你说e氏的说法与周民强一致？周民强什么时候提出过【无穷交就是一种骤变】？周民强什么时候提出过\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}=\phi\)？周民强什么时候又提出过\(N_∞=\phi\)？]

春风晚霞

落水狗畜生！放你龟儿子臭狗屁。交的定义可是：\(A\cap B=\{x:x∈A且x∈B\}\)与e氏的\(\forall m∈N ，m\notin A_m\)有何关系。同吋根据elim他自已对单减集合列的定义，m虽然有\(m\notin A_m\)，但\(m+1∈A_m;m+2∈A_m;……\)，你龟儿子只知道舔elim的屁眼。根本就不知道什么求交！更不知道什么求无穷交。你龟儿子说【方嘉琳《集合论》45页定义2已经说明elim先生通过无穷集合交集求递减集合列极限是完全正确的，完全符合周方二人的方法】纯属是放狗屁？周方二人在什么地方像这样定义求交运算了。像这种黄牛黑卵子，另外一条筋的求交运算方法也只有你这样的舔狗才会认为是正确的。落水狗婊子，任何一本集合论都不会有 【无穷交求就是一种骤变】的提法。你龟儿子既然有这些书，你不妨去做做这些书上的习题，看看无穷交会不会产生臭便？

痛打落水狗

祖传卖屄的老蠢狗婊子会做方嘉琳《集合论》35页习题4吗？

大家都知道，这是第1章第5节的习题，这里根本还没有开始讲第7节中集合列的极限，很显然，方嘉琳先生的意思与周民强先生和elim先生完全一致：是通过集合无穷交集来求递减集合列极限，而不是用老蠢狗婊子的头腚颠倒屁眼目测法来倒行逆施瞎猜胡扯！
至于无穷集合族的交集应该怎么求，大家看看方嘉琳《集合论》31页定义3，马上就能明白，还是与周民强先生和elim先生完全一致：

至此，大家都可以知道，老蠢狗婊子真是搬起石头砸自己的狗蹄子，活她妈该！