不定方程a^4±bc^4+am=ab的整数解

yangchuanju

不定方程2a^4+2b*c^4+a*c^4-1=2ab的整数解
太阳先生曾经给出不定方程组
a^2+bc^4+am=ab
2m=c^4-1
并认为该方程组如果有整数解，则参数c就是素数，当然方程组中的各个参数都有一些限制条件。
从第二个方程中解出m带入第一个方程得：
2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0
在不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0中给定一个参数c，可能对应着有一组或几组整数解a和b。

yangchuanju

给定参数c，分别用参数a和b作纵横坐标，做一张大大的二维表，
二维表的数据区分别写入不定方程左端之值，
其中的数值0就是不定方程的一组整数解。
改变参数c，可得到一系列二维表，各个二维表中可能有也可能没有数据0，
有数据0时，可能是1个，也可能是多个。

令a=0，c=0，不论b取什么整数值，方程左端都等于0；
令b=0，c是大于1的奇数，当a取(c^4-1)/2时，方程左端都等于0，其中的c不一定是素数；
存在a≠0，b≠0，c是大于1的奇数或偶数时，方程有整数解的情况，
a=-18,b=4,c=3,方程左=0；
a=-576,b=22,c=6,方程左=0。

yangchuanju

用a=-1500至0，b=-100至100做二维表，当c取下列数值时：       
c        0个数
0        201
1        1
2        1
3        3
4        1
5        2
6        2
7        2
8        1
9        1
10        1

yangchuanju

a=-18,b=4,c=3,方程左=0
a=-40,b=0,c=3,方程左=0
a=-312,b=0,c=5,方程左=0
a=-576,b=22,c=6,方程左=0
a=-7320,b=0,c=11,方程左=0
a=-14280,b=0,c=13,方程左=0
a=-25312,b=0,c=15,方程左=0

yangchuanju

太阳先生人为规定c不能是3的倍数数，不能是5的倍数数，不能是幂数，没有道理，
即便常数c可以取任意整数，不定方程的整数解都不是很多，
加上种种限制条件，不定方程的整数解少之又少；
太阳先生认为只要加上了那些限制条件，最后得到的整数解中的c就是素数是没有任何道理的；
何况最后太阳先生已亲自找到了c不是素数的反例！

yangchuanju

纵观各张二维表，
各列数据之中都有最小值（其中不乏负数），最小值的上下数据相等（对称）；
各列数据正负值变换时的a值关于最小值上下对称；
各列数据关于最小值上下对称相等；
各列数据均表现为U型线；
整个二维表数据表现为U型槽面，槽底数据逐渐有负到正切逐渐升高；
因而槽面之中可能存在有一个或多个数据0，即不定方程有整数解存在。

yangchuanju

c=7         b                                       
a        -100        -99        -98        -1        0        1
-1500        119800        127602        135404        892198        900000        907802
-1499        116402        124202        132002        888602        896402        904202
-1498        113008        120806        128604        885010        892808        900606
                                               
-1465        3250        10982        18714        768718        776450        784182
-1464        -8        7722        15452        765262        772992        780722
-1463        -3262        4466        12194        761810        769538        777266
-1462        -6512        1214        8940        758362        766088        773814
-1461        -9758        -2034        5690        754918        762642        770366
-1460        -13000        -5278        2444        751478        759200        766922
-1459        -16238        -8518        -798        748042        755762        763482
数字都有正负变换过程                                               
-1203        -713582        -706374        -699166        10        7218        14426
-1202        -715792        -708586        -701380        -2398        4808        12014
-1201        -717998        -710794        -703590        -4802        2402        9606
-1200        -720200        -712998        -705796        -7202        0        7202
-1199        -722398        -715198        -707998        -9598        -2398        4802
-1198        -724592        -717394        -710196        -11990        -4792        2406
-1197        -726782        -719586        -712390        -14378        -7182        14
-1196        -728968        -721774        -714580        -16762        -9568        -2374
——        ————        ————        ————        数字都有正负变换过程               
-655        -1325150        -1319038        -1312926        ————        ————        ————
-654        -1325168        -1319058        -1312948        ————        ————        ————
-653        -1325182        -1319074        -1312966        ————        ————        ————
-652        -1325192        -1319086        -1312980        ————        ————        ————
-651        -1325198        -1319094        -1312990        ————        ————        ————
-650        -1325200        -1319098        -1312996        ————        ————        ————
-649        -1325198        -1319098        -1312998        ————        ————        ————
-648        -1325192        -1319094        -1312996        ————        ————        ————
-647        -1325182        -1319086        -1312990        ————        ————        ————
-646        -1325168        -1319074        -1312980        ————        ————        ————
-645        -1325150        -1319058        -1312966        ————        ————        ————
-644        -1325128        -1319038        -1312948        ————        ————        ————
最小值上下数字相等对称                                               
-606        -1321328        -1315314        -1309300        -725942        -719928        -713914
-605        -1321150        -1315138        -1309126        -725962        -719950        -713938
-604        -1320968        -1314958        -1308948        -725978        -719968        -713958
-603        -1320782        -1314774        -1308766        -725990        -719982        -713974
-602        -1320592        -1314586        -1308580        -725998        -719992        -713986
-601        -1320398        -1314394        -1308390        -726002        -719998        -713994
-600        -1320200        -1314198        -1308196        -726002        -720000        -713998
-599        -1319998        -1313998        -1307998        -725998        -719998        -713998
-598        -1319792        -1313794        -1307796        -725990        -719992        -713994
-597        -1319582        -1313586        -1307590        -725978        -719982        -713986
-596        -1319368        -1313374        -1307380        -725962        -719968        -713974
-595        -1319150        -1313158        -1307166        -725942        -719950        -713958
-594        -1318928        -1312938        -1306948        -725918        -719928        -713938
——        ————        ————        ————        最小值上下数字相等对称               
-4        -490568        -485758        -480948        -14378        -9568        -4758
-3        -487982        -483174        -478366        -11990        -7182        -2374
-2        -485392        -480586        -475780        -9598        -4792        14
-1        -482798        -477994        -473190        -7202        -2398        2406
0        -480200        -475398        -470596        -4802        0        4802
1        -477598        -472798        -467998        -2398        2402        7202
2        -474992        -470194        -465396        10        4808        9606
3        -472382        -467586        -462790        2422        7218        12014
——        ————        ————        ————        数字都有正负变换过程               

yangchuanju

不定方程2a^2-2b*c^4+a*c^4-a=2ab的整数解
肯定与
不定方程2a^2+2b*c^4+a*c^4-a=2ab的整数解
类同，不再重复计算论述！

yangchuanju

不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0中给定一个参数c，可能对应着有一组或几组整数解a和b。
令c=0，f=2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=2*a^2-a-2ab，
c=0，a=0，不论b是多少，f都是0；
a不变，b±1，f±(-2ab)；a=1至5，f增-2至-10；a=-1至-5，f增2至10；
a增减1，f=2*a^2-a-2ab，f增减量各不相等；
其中b=0，a=-5至5时，f增加量分别为-19,-15,-11,-7,-3,1,5,9,13,17，递增4。
给定更多的a，抛物面（U型槽面）的谷底（即f的最小值）先是逐渐增大到0，后又逐渐减小；
其中b从-6到0，再到5时的最小f值是（已附上最小值对应的a值）：
b        -6        -5        -4        -3        -2        -1
f        -15        -10        -6        -3        -1        0
a        -3        -2        -2        -1        -1        0

b        0        1        2        3        4        5
f        0        -1        -3        -6        -10        -15
a        0        1        1        2        2        3
最小f有两个0，然后向左向右对称式的逐渐降低1,2,3,4,5……个数。                                               

yangchuanju

令c=1，f=2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=2*a^2+2b-2ab，
c=1，a=1，不论b是多少，f都是2，等f的a比c=0、a=0时大1；
a不变，b±1，f±(2b-2ab)；a=2至5，f增-2至-8；a=0至-5，f增2至12；
a增减1，f=2*a^2+2b-2ab，f增减量各不相等；
其中b=0，a=-5至5时，f增加量分别为-18,-14,-10,-6,-2,2,6,10,14,18，递增4，各个增加量都比c=0时大1个数。
给定更多的a，抛物面（U型槽面）的谷底（即f的最小值）先是逐渐增大到0，2，后又由2,0逐渐减小为负数；
其中b从-4到2，再到7时的最小f值是（已附上最小值对应的a值）：
b        -4        -3        -2        -1        0        1
f        -16        -10        -6        -2        0        2
a        -2        -1,-2        -1        -1,0        0        0,1

b        2        3        4        5        6        7
f        2        2        0        -2        -6        -10
a        1        1,2        2        2,3        3        3,4

最小f有两个0，分别对应a=0,b=0;a=2,b=4;b=2,3时最小分是2；
然后向左向右对称式的逐渐降低为-2,-6,-10,-16,-22,-30,-38,-40……，且最小f值个数分别是2,1,2,1……。