什么是阿波罗尼奥斯问题

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什么是阿波罗尼奥斯问题

原创 刘瑞祥 遇见数学 2024 年 06 月 26 日 20:01 河南

所谓阿波罗尼奥斯问题，是以古希腊数学家阿波罗尼奥斯命名的作图问题——给定三个点、直线或圆，求作经过已知点并与已知圆、已知直线相切的圆。这里提到的阿波罗尼奥斯，就是那个著有八卷本《圆锥曲线论》的数学家，只不过他对这一问题的研究结果——据称收录于其著作《论接触》——连同《圆锥曲线论》第八卷，都已经流失殆尽了（当然，我们也可以因此认为《圆锥曲线论》第八卷和《论接触》不够可靠）。

根据所给元素的不同，阿波罗尼奥斯问题可以分成十个子问题，包括：(1)点点点、(2)点点线、(3)点线线、(4)点点远、(5)线线线、(6)点线圆、(7)点圆圆、(8)线线圆、(9)线圆圆、(10)圆圆圆。

显然，其中部分内容是比较容易的，比如点点点，即是三角形外接圆问题，再比如线线线问题，即是三角形内切圆及旁切圆问题。当然，这里仅是针对一般情况说的，比如线线线问题还有可能其中两条直线平行，或者三条直线都互相平行，则解的数目要有相应变化：特别是，后者是没有解的。

稍微分析一下阿波罗尼奥斯问题，就可以看出它们和圆锥曲线有密切联系，比如点点线问题显然涉及抛物线。但麻烦的是，利用尺规作图只能画出抛物线上有限的点，不能画出整条抛物线。所以，我们不能利用这种方法直接求解。不过，这启发我们可以通过研究阿波罗尼奥斯问题，用尺规作图的方法求得圆锥曲线的交点（想一下，什么时候会遇到椭圆和双曲线）。



大多数阿波罗尼奥斯问题比较困难，比如很多人就不一定能自己想出来“点点线”问题的解法。至于最后的圆圆圆问题，单是确定这三个圆有哪些位置关系，就已经非常复杂了，更不用说具体作图方法。

当然，这毕竟是初等数学问题，早就有了完整的解答。这里为大家推荐的是《圆之吻——有趣的尺规作图》一书，里面对阿波罗尼奥斯问题作出了全面、细致的解答，并且对这一问题的历史也做了详细介绍，希望大家喜欢。



阿波罗尼奥斯问题中的大多数可以借助“反演”完成，并且极为方便。这里提到的“反演”是一种特殊的几何变换。借助这一变换，可以把“圆”变化为直线以简化问题，当然最后需要再把直线变成圆。从思路上看，这有点像代数里的“换元法”，都是通过一定的变化简化问题，得到一个“中间解”，最后通过逆变换还原成原问题，得到最终解。

以下对这十个子问题各举一例（表中的每例只给出一个解）



大家至少可以想一下每个子问题在什么时候没有解，在什么时候有无穷多个解，以及其它一些特殊情况。比如：“点点点”问题中三个已知点共线，似应视为“退化解”——所求圆的半径无穷大，即为直线；“点点线”问题中的两点分居在已知直线的两侧，应视为无解。

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