光前裕后，继往开来，回顾潘承洞先生卓越成就！

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光前裕后，继往开来，回顾潘承洞先生卓越成就！

作者 | 齐月菡

来源 | 山东大学数学学院

毕达哥拉斯说：数统治宇宙。

高斯说：数学是科学的女王。

整数是数学的基础，而数论就是研究整数性质的学问。整数都能分解成素数的乘积，所以素数分布是数论的核心问题。

素数是离散的，其出现并无明显规律。解析方法是研究素数分布的最有力工具，所以有了解析数论这门学问。


在潘承洞先生诞辰 90 周年纪念大会暨数学发展论坛上，潘承洞先生的弟子、中国解析数论学派新一代代表人物刘建亚教授作报告，讲述了恩师在研究领域取得的卓越成就，为党和国家培养大批优秀数学人才的育人事迹，以及山大解析数论在潘承洞精神影响下的传承与发展。

01  最小素数与几个发展

素数分布

数论是研究整数性质的学问，而整数都可以分解成素数的乘积，因此素数分布是数论的核心问题。

欧几里得定理（《几何原本》约公元前 300 年）：自然数中有无穷多素数。


欧几里得

等差数列中的素数

Dirichlet 定理（1837）：

若一个等差数列

a , a+q , a+2q , a+3q , …

的公差 q 与首项 a 互素，则这个等差数列中有无穷多个素数。

这是欧几里得定理在等差数列中的深刻推广，其重要历史意义一直延续至今。


Dirichlet

上述等差数列中最小的那个素数 p1 如何用 q 来衡量，是一个重要的科学问题。

假设广义黎曼猜想，有 p1 << q^(2+ε) 。

然而若直接利用等差数列中的素数定理，无法用 q 的多项式控制 p1 的上界。


Riemann

数论世界 登堂入室

20 世纪 50 年代是近代解析数论的一个重要发展时期。

闵嗣鹤极有远见地为潘承洞确定了研究方向：L-函数的零点分布及其在数论问题中的应用。


闵嗣鹤


潘承洞

学术成就一：最小素数

Linnik 定理（1944）：

存在一个绝对常数 L ，使得上述等差数列中的最小的那个素数 p1 满足

p1 << q^L 。

这里的 L 是个定性的绝对常数，非常大，而且不知道其可允许的数值。

这是对黎曼猜想的一大贡献。


Linnik

潘承洞定理（1957）：

Linnik 常数 L 满足  L≤10000 。

这个惊世之作是潘承洞在本科期间，在闵嗣鹤先生指导下完成的，潘承洞时年 23 岁。

● 这是关于 Linnik 常数的第一个定量结果。

● 这项工作非常重要，Linnik 亲自为此写了长篇评论。



几个发展

此后对 Linnik 常数的改进，都是在潘承洞这一框架下得到的，后续研究者，包括陈景润和 Heath-Brown 等数学大家。

时至如今，Linnik 常数仍是研究热点。

2023 年，邵逸夫奖得主 Iwaniec 给出了证明 L≤75744000 的新方法。

02 哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是哥德巴赫在 1742 年给欧拉的信中提出来的。

此后 100 多年的时间里，哥德巴赫猜想的研究没有本质的进展。

1900 年希尔伯特将哥德巴赫猜想列入其 23 个数学问题。


Euler


Hilbert

一个好的猜想要满足三个条件：

一是美；

二是难；

三是与数学的其他分支有广泛的联系。

哥德巴赫猜想就满足这三个条件。

哥德巴赫猜想研究在 1920 年以后开始取得突破：

英国学派 Hardy 与 Littlewood ；苏联学派 Vinogradov , Linnik 。



勇攀高峰 摘取明珠

华罗庚：“我并不是要你们在这个问题上做出成果来，我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系……”

数论中国学派（the Chinese School）诞生。


华罗庚和他的学生们（左一为潘承洞）

学术成就二：哥德巴赫猜想

Rényi 定理（1948）：



对某个 θ＞0 成立，从而推出了哥德巴赫猜想中的命题（1+C）。这个 C 是个定性的结果，不知道其具体可允许的值。

这仍然是素数在等差数列中分布问题，这里的 θ 称为分布的阶，至关重要。大体上说，C ∝ 1/θ 。

潘承洞（1962）：θ=1/3 成立，从而得到（1+5）。这是首个定量结果。

潘承洞（1962/1963）：θ＝3/8 成立，并推出（1+4）。

目前，最强的结果是陈景润（1966/1973）的（1+2）。

对应于张益唐关于孪生素数猜想的定理，在哥德巴赫猜想中并未得到证明。



03  学术传承

在任教的 30 多年中，潘承洞为本科生、研究生开设了 10 多门课程，指导并培养了 13 名博士研究生，20 名硕士研究生。




潘承洞与学生们在一起


潘承洞与展涛、刘建亚等学生在一起

21 世纪的（解析）数论

数论始终是一个试验场，任何数学工具都可以用来解决数论问题。尤其是进入 21 世纪以来，分析、代数、几何、组合等各数学分支，在此高度交叉融合。数论各分支之间也越来越交叉融合。

仅就分析工具来说，已经从原先的实分析、复分析扩展为李群上的调和分析、自守表示、Langlands 纲领等现代工具。

关于素数分布，Sarnak 提出了一个纲领性猜想，预言了素数在群作用的轨道上的分布规律，这个猜想相当于高维高次的哥德巴赫猜想，包含了历史上有关素数的几乎所有重要猜想。Sarnak 因为与此猜想有关的工作，获得 2024 年邵逸夫奖。


群作用的一个轨道的示意图

在以上大背景下，山大数论正在做出积极的贡献。例如，刘建亚证明了 Sarnak 猜想对 10 个变量的二次型方程成立；刘建亚与 Sarnak 合作，证明了该猜想在三元二次型的情形对殆素数成立。最近，刘建亚更与合作者证明了 Sarnak 猜想在高维高次的情形下也成立。相关结果刊于 Duke Math. J., GAFA，Crelle's Journal 等，被三位菲尔兹奖得主陶哲轩，Bourgain , Venkatesh 以及其他作者广泛引用 900 余次，这在数论领域是非常高的，引文杂志包括 Ann. of Math. , Invent. Math. , Acta Math. 等。

在介绍结尾时，刘建亚引用师兄展涛的话，以表达潘氏弟子对潘先生的敬仰：



在报告的最后，刘建亚引用山东大学任友群书记、李术才校长在《潘承洞影印文集》序言中的话作为结语：



光前裕后，继往开来。

我们深切缅怀潘承洞先生为我国数学和教育事业作出的卓越贡献，追思和学习他的崇高品格和精神风范。

大力弘扬教育家精神、科学家精神，为服务中国式现代化贡献山大力量！



素材来源 | 山东大学数学学院

编辑 | 齐月菡

责任编辑 | 蒲帅

审核 | 林竹 冯刚

齐月菡 好玩的数学 2024 年 08 月 04 日 07:10 江西