加2是平方数的梅森数及梅森因子

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 07:30

加2是平方数的梅森数及梅森因子
梅森数都是模8余7的正整数（第1个梅森素数2^2-2=3除外）。
梅森因子中既有模8余7的，也有模8余1的，其中模8余7的因子个数是单数（第1个梅森素数2^2-2=3除外）。
n digits number
2 1 3 = 3
3 1 7 = 7
5 2 31 = 31
7 3 127 = 127
11 4 2047 = 23 · 89
13 4 8191 = 8191
17 6 131071 = 131071
19 6 524287 = 524287
23 7 8388607 = 47 · 178481
29 9 536870911 = 233 · 1103 · 2089
31 10 2147483647<10> = 2147483647<10>
37 12 137438953471<12> = 223 · 616318177
41 13 2199023255551<13> = 13367 · 164511353
43 13 8796093022207<13> = 431 · 9719 · 2099863
47 15 140737488355327<15> = 2351 · 4513 · 13264529
53 16 9007199254740991<16> = 6361 · 69431 · 20394401
59 18 576460752303423487<18> = 179951 · 3203431780337<13>
61 19 2305843009213693951<19> = 2305843009213693951<19>
67 21 147573952589676412927<21> = 193707721 · 761838257287<12>
71 22 2361183241434822606847<22> = 228479 · 48544121 · 212885833
73 22 9444732965739290427391<22> = 439 · 2298041 · 9361973132609<13>
79 24 604462909807314587353087<24> = 2687 · 202029703 · 1113491139767<13>
83 25 9671406556917033397649407<25> = 167 · 57912614113275649087721<23>
89 27 618970019642690137449562111<27> = 618970019642690137449562111<27>
97 30 158456325028528675187087900671<30> = 11447 · 13842607235828485645766393<26>
101 31 2535301200456458802993406410751<31> = 7432339208719<13> · 341117531003194129<18>
103 32 10141204801825835211973625643007<32> = 2550183799<10> · 3976656429941438590393<22>
107 33 162259276829213363391578010288127<33> = 162259276829213363391578010288127<33>
109 33 649037107316853453566312041152511<33> = 745988807 · 870035986098720987332873<24>
113 35 10384593717069655257060992658440191<35> = 3391 · 23279 · 65993 · 1868569 · 1066818132868207<16>
127 39 170141183460469231731687303715884105727<39> = 170141183460469231731687303715884105727<39>
131 40 2722258935367507707706996859454145691647<40> = 263 · 10350794431055162386718619237468234569<38>
137 42 174224571863520493293247799005065324265471<42> = 32032215596496435569<20> · 5439042183600204290159<22>
139 42 696898287454081973172991196020261297061887<42> = 5625767248687<13> · 123876132205208335762278423601<30>
149 45 713623846352979940529142984724747568191373311<45> = 86656268566282183151<20> · 8235109336690846723986161<25>
151 46 2854495385411919762116571938898990272765493247<46> = 18121 · 55871 · 165799 · 2332951 · 7289088383388253664437433<25>
157 48 182687704666362864775460604089535377456991567871<48> = 852133201 · 60726444167<11> · 1654058017289<13> · 2134387368610417<16>
163 50 11692013098647223345629478661730264157247460343807<50> = 150287 · 704161 · 110211473 · 27669118297<11> · 36230454570129675721<20>

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 07:39

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-8-6 15:02 编辑

经对前1229个梅森数的1710个不大于10^15的素因子进行统计分析，各个梅森因子中只有18个模8余7的因子（包括梅森素数7）具有加2是平方数的性质，
且这些梅森因子都是第一个（最小的）素因子。
n number p1 加2开平方
3 7 7 3
11 2047 23 5
23 8388607 47 7
37 137438953471<12> 223 15
73 9444732965739290427391<22> 439 21
83 9671406556917033397649407<25> 167 13
97 158456325028528675187087900671<30> 11447 107
179 2^179-1<54> 359 19
419 2^419-1<127> 839 29
683 2^683-1<206> 1367 37
1103 2^1103-1<333> 2207 47
1511 2^1511-1<455> 3023 55
2963 2^2963-1<892> 5927 77
3037 2^3037-1<915> 18223 135
5303 2^5303-1<1597> 10607 103
6947 2^6947-1<2092> 180623 425
7079 2^7079-1<2131> 14159 119
8821 2^8821-1<2656> 405767 637

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 07:43

第2及以后的各个模8余7的梅森因子之中没有具有加2是平方数的性质；
所有模8余1的梅森因子之中都没有具有加2是平方数的性质。
为什么？

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 07:51

经对前10001个8k+7再加2的正整数进行统计分析，
其中有140个是平方数。
k 8k+9 (8k+9)^0.5
0 9 3
2 25 5
5 49 7
9 81 9
14 121 11
20 169 13
27 225 15
35 289 17
44 361 19
54 441 21
65 529 23
77 625 25
90 729 27
104 841 29
119 961 31
135 1089 33
152 1225 35
170 1369 37
189 1521 39
209 1681 41
230 1849 43
252 2025 45
275 2209 47
299 2401 49
324 2601 51
350 2809 53
377 3025 55
405 3249 57
434 3481 59
464 3721 61
495 3969 63
527 4225 65
560 4489 67
594 4761 69
629 5041 71
665 5329 73
702 5625 75
740 5929 77
779 6241 79
819 6561 81
860 6889 83
902 7225 85
945 7569 87
989 7921 89
1034 8281 91
1080 8649 93
1127 9025 95
1175 9409 97
1224 9801 99
1274 10201 101
1325 10609 103
1377 11025 105
1430 11449 107
1484 11881 109
1539 12321 111
1595 12769 113
1652 13225 115
1710 13689 117
1769 14161 119
1829 14641 121
1890 15129 123
1952 15625 125
2015 16129 127
2079 16641 129
2144 17161 131
2210 17689 133
2277 18225 135
2345 18769 137
2414 19321 139
2484 19881 141
2555 20449 143
2627 21025 145
2700 21609 147
2774 22201 149
2849 22801 151
2925 23409 153
3002 24025 155
3080 24649 157
3159 25281 159
3239 25921 161
3320 26569 163
3402 27225 165
3485 27889 167
3569 28561 169
3654 29241 171
3740 29929 173
3827 30625 175
3915 31329 177
4004 32041 179
4094 32761 181
4185 33489 183
4277 34225 185
4370 34969 187
4464 35721 189
4559 36481 191
4655 37249 193
4752 38025 195
4850 38809 197
4949 39601 199
5049 40401 201
5150 41209 203
5252 42025 205
5355 42849 207
5459 43681 209
5564 44521 211
5670 45369 213
5777 46225 215
5885 47089 217
5994 47961 219
6104 48841 221
6215 49729 223
6327 50625 225
6440 51529 227
6554 52441 229
6669 53361 231
6785 54289 233
6902 55225 235
7020 56169 237
7139 57121 239
7259 58081 241
7380 59049 243
7502 60025 245
7625 61009 247
7749 62001 249
7874 63001 251
8000 64009 253
8127 65025 255
8255 66049 257
8384 67081 259
8514 68121 261
8645 69169 263
8777 70225 265
8910 71289 267
9044 72361 269
9179 73441 271
9315 74529 273
9452 75625 275
9590 76729 277
9729 77841 279
9869 78961 281

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 07:56

经对前100001个8k+7和8k+1再加2的正整数进行统计分析，
其中有多个8k+7再加2是平方数的数，但没有一个8k+1再加2是平方数的数，。
k范围 (8k+9)^0.5 (8k+3)^0.5
10000 140 0
20000 59 0
30000 45 0
40000 38 0
50000 33 0
60000 30 0
70000 28 0
80000 26 0
90000 24 0
100000 23 0

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 14:13

k^2+2型素数及对应的k值
A028871 A028870
Primes of the form k^2 - 2.
Numbers k such that k^2 - 2 is prime.
1 2 1 2
2 7 2 3
3 23 3 5
4 47 4 7
5 79 5 9
6 167 6 13
7 223 7 15
8 359 8 19
9 439 9 21
10 727 10 27
11 839 11 29
12 1087 12 33
13 1223 13 35
14 1367 14 37
15 1847 15 43
16 2207 16 47
17 2399 17 49
18 3023 18 55
19 3719 19 61
20 3967 20 63
21 4759 21 69
22 5039 22 71
23 5623 23 75
24 5927 24 77
25 7919 25 89
26 8647 26 93
27 10607 27 103
28 11447 28 107
29 13687 29 117
30 14159 30 119
31 14639 31 121
32 16127 32 127
33 17159 33 131
34 18223 34 135
35 19319 35 139
36 21023 36 145
37 24023 37 155
38 25919 38 161
39 28559 39 169
40 29927 40 173
41 31327 41 177
42 33487 42 183
43 36479 43 191
44 42023 44 205
45 44519 45 211
46 47087 46 217
47 49727 47 223
48 53359 48 231
49 54287 49 233
50 56167 50 237
51 57119 51 239
52 61007 52 247
53 64007 53 253
54 66047 54 257
55 67079 55 259
56 70223 56 265
57 71287 57 267
58 74527 58 273
59 77839 59 279
60 81223 60 285
61 85847 61 293
62 89399 62 299
63 90599 63 301
64 91807 64 303
65 95479 65 309
66 97967 66 313
67 99223 67 315
68 104327 68 323
69 112223 69 335
70 113567 70 337
71 116279 71 341
72 126023 72 355
73 127447 73 357
74 128879 74 359
75 137639 75 371
76 149767 76 387
77 152879 77 391
78 159199 78 399
79 164023 79 405
80 172223 80 415
81 177239 81 421
82 180623 82 425
83 184039 83 429
84 189223 84 435
85 194479 85 441
86 196247 86 443
87 199807 87 447
88 201599 88 449
89 218087 89 467
90 219959 90 469
91 231359 91 481
92 239119 92 489
93 241079 93 491
94 245023 94 495
95 247007 95 497
96 255023 96 505
97 263167 97 513
98 273527 98 523
99 275623 99 525
100 281959 100 531
更多的素数和k（101-10000个）请直接查看原网页。

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 14:16

k^2+2型素数除2以外都是模8余7的——
序号素数模8余
1 2 2
2 7 7
3 23 7
4 47 7
5 79 7
6 167 7
7 223 7
8 359 7
9 439 7
10 727 7
11 839 7
12 1087 7
13 1223 7
14 1367 7
15 1847 7
16 2207 7
17 2399 7
18 3023 7
19 3719 7
20 3967 7
21 4759 7
22 5039 7
23 5623 7
24 5927 7
25 7919 7
26 8647 7
27 10607 7
28 11447 7
29 13687 7
30 14159 7
31 14639 7
32 16127 7
33 17159 7
34 18223 7
35 19319 7
36 21023 7
37 24023 7
38 25919 7
39 28559 7
40 29927 7
41 31327 7
42 33487 7
43 36479 7
44 42023 7
45 44519 7
46 47087 7
47 49727 7
48 53359 7
49 54287 7
50 56167 7
51 57119 7
52 61007 7
53 64007 7
54 66047 7
55 67079 7
56 70223 7
57 71287 7
58 74527 7
59 77839 7
60 81223 7
61 85847 7
62 89399 7
63 90599 7
64 91807 7
65 95479 7
66 97967 7
67 99223 7
68 104327 7
69 112223 7
70 113567 7
71 116279 7
72 126023 7
73 127447 7
74 128879 7
75 137639 7
76 149767 7
77 152879 7
78 159199 7
79 164023 7
80 172223 7
81 177239 7
82 180623 7
83 184039 7
84 189223 7
85 194479 7
86 196247 7
87 199807 7
88 201599 7
89 218087 7
90 219959 7
91 231359 7
92 239119 7
93 241079 7
94 245023 7
95 247007 7
96 255023 7
97 263167 7
98 273527 7
99 275623 7
100 281959 7
……

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 14:26

k^2+2型素数除2以外都是模8余7的，
但这些并不都是梅森数或梅森因子：
指数梅森数 p1 加2开平方
3 7 7 3
11 2047 23 5
23 8388607 47 7
37 137438953471<12> 223 15
73 9444732965739290427391<22> 439 21
83 9671406556917033397649407<25> 167 13
97 158456325028528675187087900671<30> 11447 107
179 2^179-1<54> 359 19
419 2^419-1<127> 839 29
683 2^683-1<206> 1367 37
1103 2^1103-1<333> 2207 47
1511 2^1511-1<455> 3023 55
2963 2^2963-1<892> 5927 77
3037 2^3037-1<915> 18223 135
5303 2^5303-1<1597> 10607 103
6947 2^6947-1<2092> 180623 425
7079 2^7079-1<2131> 14159 119
8821 2^8821-1<2656> 405767 637

yangchuanju · 发表于 2024-8-6 14:55

前1229个梅森数的1710个不大于10^15的梅森素数及梅森数因子之中，模8余7的929个，模8余1的780个，模8余3的1个，分别分布在
———— p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 总个数
模8余7 557 230 94 34 8 6 0 929
模8余1 385 248 104 27 12 3 1 780
其中的17个加2是平方数的素数7和素因子（不包括梅森素数3）全都分布在p1（第一素因子）之中。

yangchuanju · 发表于 2024-8-8 09:30

yangchuanju 发表于 2024-8-6 07:43
第2及以后的各个模8余7的梅森因子之中没有具有加2是平方数的性质；
所有模8余1的梅森因子之中都没有具有加 ...

扩大梅森数的取值范围至指数39989，在其中找到了2个第3素因子满足加2是平方数的要求：
n p3 加2开平方 p减1除以n
35831 16410599 4051 458
38459 2845967 1687 74
谜团和困惑已解开，并非只有第一素因子才有“加2是平方数”的问题。

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