从圆心角到双曲角

luyuanhong

从圆心角到双曲角

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 02 日 07:30 陕西

你是否了解过双曲函数 sinh 和 cosh ,又是不是好奇它们为什么会被称为双曲函数，而且它们和正弦 sin 和 cos 长得如此相似，彼此之间又有什么关系，更有趣的一点是 sinh 和 cosh 函数的参数可以被视为表示角度，这又是什么理由，今天这期中，我们将尝试回答这些问题。

双曲函数

sinh 函数定义为：



cosh 函数定义为：



这两个函数的图形如下所示（红色为 sinh ，青色为 cosh ）：



正弦和余弦构成一个圆

我们可以基于余弦和正弦函数创建一个参数方程，参数用 t 表示，如下所示：



参数方程定义了一条曲线。对于某个值 t ，曲线将通过点 P ，其坐标为 (cost , sint) ：



由三角恒等式我们知道，对于任何 t 值，OP 等于 1 ：



这基本上是在告诉我们参数方程描述的是一个单位圆。从基本三角学也可以清楚地看出，圆心的角度等于参数 t ：



利用简单的代数也可以证明参数曲线是圆，即用 x 代替 cost ，用 y 代替 sint（来自上面的参数方程）。这给了我们单位圆的标准公式：



关于这个参数曲线，我们还可以得出另一个有用的事实。下面标注的扇形的面积等于 t/2（当然，t 以弧度为单位）,这是因为



圆的总角度为 2π ，扇形的面积占圆总面积的比例为：



而单位圆的总面积为 π ，因此扇形的面积为：



sinh 和 cosh 构成双曲线

现在让我们看一下基于双曲函数的不同参数方程组：



我们可以取 t 的各种值，并在图表上绘制得到的 (x,y) 值：



如果我们对每个点重复此操作，我们将得到如下曲线：



这条曲线是一条双曲线（单位双曲线）。这个要使用双曲函数的恒等式才能看出：



就像我们在圆形的情况做的那样，代入 x 和 y 可得：



这实际上是双曲线的标准表达式。

圆和双曲线都作为圆锥截面

如果我们在同一张图上绘制单位圆和单位双曲线，它看起来如下所示：



两个图在点 (1,0) 处相切。我们可以通过将这两个形状视为圆锥曲线来进一步了解这种关系。圆锥曲线是平面切过圆锥时形成的形状。在我们的例子中，我们使用一个特定的圆锥，其侧面与圆锥的垂直中心线成 45 度角。



我们可以用水平面切割圆锥体，像这样：



这将将形成一个圆形截面：



我们也可以用垂直平面切割圆锥体，像这样：



这样就创建了一个双曲截面。



如果我们确保垂直平面距离圆锥的中心线 1 个单位，那么这将是一个单位双曲线（同样，这只有在我们指定圆锥的角度为 45 度时才成立）。如果我们垂直和水平切割圆锥，它看起来就像这样：



同时切割的时候圆与双曲线相切于一点。此点相当于先前圆与双曲线图上的点 (1,0) 如上图所示

双曲角

之前我们知道下面这个扇形的面积是 t/2 ：



我们可以在双曲线上画一个类似的“扇区”：



我们感兴趣的是蓝色区域 A ，它由近似三角形的 ORP 形成。我们很快就会看到，该区域的面积等于 t/2 ，其中 t 定义点 P 。点 P 坐标是 (cosht, sinht) 。

我们将 t 称为双曲角，因为它与扇形面积的关系与前一个圆形例子中的角度 t 相同。但要注意的是角度 ROP 不等于 t 。

双曲角的积分证明

最后，我们需要证明面积 A 等于 t/2 。方法很简单，我们求出 A 和 B 的面积之和（即三角形 OPQ ），然后通过积分求出面积 B ，最后通过减法求出面积 A 。

在这个过程中，我们使用双曲函数的几个标准恒等式。这些恒等式很容易通过 sinh 和 cosh 定义的指数形式以及乘法来证明，但为了使证明更简短，我们将其视为已知。

求 A 加 B 的面积

我们知道点P的坐标为 (cosht,sinht)，所以三角形 OPQ 的面积为：



利用下面的标准恒等式来表示 sinh 和 cosh 的乘积：



所以：



寻找区域 B 的面积

面积 B 是 R（其中 x=cosh0）和 Q（其中 x=cosht）之间的曲线下的面积。我们知道该曲线是一条双曲线，其方程为：



在第一象限内，反解 y ：



区域 B 的面积可由下面的定积分表示：



这里要进行双曲变量代换，才能积分出来：



其中：



我们的积分现在可以写成这样（注意，就 s 而言，范围是 0 到 t ）：



还要使用另一个标准恒等式（我们只对第一象限里的感兴趣）：



这将我们的积分简化为：



这是一个标准积分，不定积分由以下公式给出：



面积 B 由 s=0 和 s=t 之间的定积分给出：



当 t=0 时，两个项都计算为 0 。因此最终结果是：



寻找区域 A 的面积

现在我们已经知道：





相减得：



所以扇形的面积等于双曲角 t 的一半。



围城里的猫