哥德巴赫猜想的前世今生

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哥德巴赫猜想的前世今生

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 07 月 02 日 12:38 浙江

一座城市可能因为某些人的故事而变得生动，而一个人可能因为某项成就而永载史册。

柯尼斯堡就是这样一座城市，而哥德巴赫就是这样一个人，他仅仅因为提出了一个问题就被全世界记住了。


哥德巴赫

有时候一个好的问题，比答案更重要。

哥德巴赫并不属于顶级数学家，但他却善于结交顶级数学家。

他从 20 岁开始就游遍欧洲，与许多顶级数学家都有交集，而他最重要的一位数学家朋友就是欧拉。他曾写信请欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，从此让柯尼斯堡与数学结下了不解之缘。


与数学有着不解之缘的柯尼斯堡

6 年后，他又将自己的一个大胆猜想写信告诉欧拉，他坚信是对的，但却无法证明。

这就是大名鼎鼎的哥德巴赫猜想，准确说应该是“哥德巴赫-欧拉猜想”。


1742 年哥德巴赫给欧拉的信

后来欧拉将其修改为一个等价表述：“任意一个大于 2 的偶数，都可表示成两个素数之和。”

素数又称质数，是指在大于等于 2 的自然数中，除了 1 和自身外，不能被其他数整除的数。

比如：2 ，3 ，5 ，7 ，11 等。

这个猜想说的就是一个大偶数，能拆成一个素数加另一个素数（两个素数可以相等）。

比如：6=3+3 ，8=3+5 ，10=3+7 等。

因此它又被称为（1+1）问题。

可即便是欧拉，也无法给出证明。

哥德巴赫猜想的伟大就在于它的极致简洁，似乎隐含着数字基本构成的秘密。


我们用形象的图示来表示，图中红色和蓝色条带都代表素数，两者的交点代表两个相对应的素数之和，而似乎大于 2 的偶数所在的水平线上，至少会存在一个红蓝条带的交点。

从 1742 年哥德巴赫猜想提出后，160 年里，人们对它束手无策，除了在数值上验证它之外，没有实质性进展。

1900 年，同样是来自柯尼斯堡的大数学家希尔伯特，在他著名的 23 个数学问题的演讲中，将哥德巴赫猜想位列第八。它再一次点燃了数学家们的斗志。



在欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马、哈代、拉马努金和利特尔伍德等几代数学家的努力下，解析数论得到了极大的发展。

这一次，数学家们终于在哥德巴赫猜想问题上，取得了突破性进展。出现了两种代表性思路：一种是英国数学家哈代和利特尔伍德的“圆法”；另一种是挪威数学家布朗的“筛法”。

1919 年，布朗使用“筛法”证明了：所有充分大的偶数都能写成两个数的和，这两个数的素因数都不超过 9 个，被称为:（9+9）。

1920 年，哈代和利特尔伍德利用“圆法”解决了：每一个充分大的奇数都可以写成三个素数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都可以写成了两个素数的和。

1936 年，我国自学成才的数学家华罗庚，受哈代邀请，前往剑桥作访问学者。

1938 年，华罗庚证明了：几乎所有偶数都能表示为一个素数与另一个素数幂的和，即（1+1^k）。



1950 年，华罗庚回国，主持中科院数学研究所工作，组织了一个数论研讨班，他倡议学生来研究“哥德巴赫猜想”，以此来掌握解析数论中所有重要的方法。

参加这个数论研讨班的学生有：王元、潘承洞和陈景润等。出乎意料的是，这些年轻的中国数学家与当时世界一流的数学家们，对哥德巴赫猜想发起了一场包围战。


从左往右分别为：王元、陈景润、潘承洞

1956 年，王元证明了（3＋4）。

翌年，他又证明了（2＋3）。

1962 年，潘承洞证明了（1＋5）。

翌年，他与王元合作又证明了（1＋4）。

1965 年，意大利数学家朋比利与另两位苏联数学家同时证明了（1+3）。

包围圈越来越小，但难度也在陡然增加。

1966 年，陈景润在对筛法作了重要改进后，证明了（1＋2），也即：每一个充分大的偶数，都是一个素数及一个不超过两个素数乘积的和。这离证明哥德巴赫猜想（1+1）仅一步之遥。


陈景润关于（1+2）详细证明的论文首页

陈景润的证明过程十分复杂，而且需要很高的技巧性，这几乎是“筛法”运用的极限。

这一成就轰动了国际数学界，（1+2）也被称为“陈氏定理”，并在国内掀起了一股不小的数学热。


陈景润

哥德巴赫猜想的表述通俗易懂，以至于它的名字迅速传遍大江南北，成为我们最熟悉的世纪难题。

虽然陈景润的成果，距离证明哥德巴赫猜想（1+1）仅一步之遥。但这一步却犹如天堑。50 年过去了，这颗数论皇冠上的“明珠”依然遥不可及。然而数学家们在攀登高峰的过程中却已经结出了累累硕果。

21 世纪以来，包括陶哲轩在内的一些数学家还在进行着新的尝试。

2013 年，来自巴黎高师的研究员，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特，完成了弱哥德巴赫猜想的证明，即“任何一个大于 7 的奇数都能被表示成三个素数的和”，但强哥德巴赫猜想依然无法撼动。

正因如此，像“哥德巴赫猜想”这样的问题，也被希尔伯特称为“下金蛋的母鸡”。

柯尼斯堡代表着理性与自由，来自这里的数学家，将思想传遍世界。

他们提出的问题，如同种子一般，在各处生根发芽，为人类的智慧花园，增添无尽的色彩与芳香。

《数学的奇境》一书带你重回数学家们勇往直前的时代，讲述哥德巴赫猜想这些世纪难题的前世今生，一探奇妙的数学胜境。



补充资料：

1742 年 6 月 7 日，哥德巴赫在给欧拉的一封信里写道，“任何一个大于 2 的整数都可以写成三个素数之和”。同年 6 月 30 日，欧拉在回信里注明了这一命题的另一个版本“任何一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和”，也是我们今天熟知的定义，现在所谓的“1+1”指的就是这个命题。

1900 年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的孪生素数猜想。

1921 年，英国数学家哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称：“哥德巴赫猜想的困难程度可以与任何一个已知的数学难题相比”

哥猜之所以名气大，一是题面简单，小学生都能看懂，二是关心过它的数学家多，十八世纪以来几乎一流的数学家都思考过它，三是问题根本，它跟很多命题相关，哥猜若解决，一大堆丢潘图问题就都能迎刃而解了。

弱哥德巴赫猜想（又称为奇数哥德巴赫猜想、三重哥德巴赫猜想或三质数问题）是这样一个命题：任何一个大于 7 的奇数都能被表示成三个奇质数的和（一个质数可以被多次使用）。

2012 年到 2013 年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，将这个下界降至了约 10^30 。贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

王元，中国科学院院士。他首先将解析数论中的筛法用于哥德巴赫猜想的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫猜想的研究闻名。他首先确定命题“1+x”中 x 的具体数值，并证明命题“1+5”和“1+4”成立。潘承彪，中科院院士，著名数论学家，潘承洞胞弟，也是数论学家张益唐在北京大学时的研究生导师。

而使用筛法的最好结果是由我国数学家陈景润得到的。1966 年，陈景润在《科学通报》上发表了有关“1+2”的证明。

1973 年，陈景润给出了“1+2”的详细证明，同时改进了 1966 年研究的数值结果。是年 4 月，中国科学院主办的《中国科学》上，公开发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》。在这一证明中，陈景润对筛法作出了重大的改进，提出了一种新的加权筛法。因此“1+2”也被称为陈氏定理。

陈景润后来不断改进自己的结果，从某种意义上来说已经将筛法的威力发挥到了极致。但很可惜的是，陈景润的加权筛法要证明最终哥德巴赫猜想（“1+1”）需要在加权筛中取 x=2 ，而这将导致估计主项和余项变得难以实现。所以如今数学界的主流意见认为，最终证明哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工具，或者在现有的方法上进行颠覆性的改进。但无论如何，陈景润已经走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。

蔡爸谈数学

ysr

哥德巴赫猜想并不难，有多种初等证明方法可以证明，哥德巴赫猜想是远远成立的。
1，由差定理（更容易证明）证明和定理（就是哥德巴赫猜想）成立。
2，设偶数2A的方根为M则其方根M内的素数的个数的下限是m=M/lnM，则偶数2A的哥德巴赫猜想解的个数的绝对下限就是m-1，这是对无穷大的偶数都成立的，随着偶数的增大实际解的个数远远大于m-1 ， 所以，哥德巴赫猜想远远成立。
3，据构成哥德巴赫猜想解的素数与偶数的方根的大小，把解分为两类：小根拆和大根拆，大于4的偶数，仅仅有73个偶数只有大根拆而不含有小根拆，其他的都是既有小根拆也有大根拆，而4=2+2.

所以，哥德巴赫猜想远远成立，容易证明，仅仅初等数学就可以证明，中学以上的学历都i可以完全解决。

至今不能和解决的原因仅仅有两个：一是数学家喜欢本末倒置从解析数论下手解决问题，二是中国数学界到处是汉奸破环了中国数学界的学术氛围！！